函数的单调性和极值.ppt

求导的公式与法则——0)(/C)()(*1/Nnnxxnn如果函数f(x)、g(x)有导数，那么(x)g(x)fg(x)][f(x)///(x)Cff(x)][C//求导的方法——①定义法②公式法复习导入一、函数的单调性从几何图形上来分析abxyo)(xfy),(ba都是锐角，即斜率0)(tanxf是上升的。),(ba如果曲线在内所有切线的倾斜角时，那么曲线在可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。aboyx同样，当时，曲线在内是下降。),(ba0)(tanxf我们有如下定理：若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即在（a，b）内的每一点处的导数值为正若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，分析：从图形看设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y'0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y'0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.证明函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法结论：y'0增函数y'0减函数例1求函数f(x)=x3-3x的单调区间解（1）该函数的定义区间为（-,）；（2）f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f/(x)=0,得x=-1,x=1它们将定义区间分为三个子区间：(,1),(1,1),(1,)x(,1)(-1,1)(1,+)f/(x)+-+f(x)所以单调增加区间为(,1)1和（，）单调减少区间为（-1，1）例2.确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f`(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（3）求解不等式f`(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间注：单调区间不以“并集”出现。练习1、确定y=2x2-5x+7的单调区间练习2、求y=3x-x3的单调区间55（，）；（，）441111（，），（，），（，）一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义——函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。oxyab如果x0是f'(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f'(x)0，在x0右侧附近f'(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.导数的应用二、求函数的极值如果x0是f'(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f'(x)0，在x0右侧附近f'(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值(1)求导函数f'(x)；(2)求解方程f'(x)=0；(3)检查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。用导数法求解函数极值的步骤：例1求函数的极值.点(1)y=x2-7x+6(2)y=-2x2+5x(3)y=x3-27x(4)y=3x2-x3表格法注：极值点是导数值为0的点，导数为零的点不一定是极值点导数的应用之三、求函数最值.在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值法一将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2法二解：f'(x)=2x-4令f'(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1,2）2（2,5）5y'0y_+3112例2求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值。导数导数的定义求导公式与法则导数的应用导数的几何意义多项式函数的导数函数单调性函数的极值函数的最值基本练习1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为()(A)–5(B)–6(C)–7(D)–82、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()(A)单调递增函数(B)单调递减函数(C)部份单调增，部分单调减(D)单调性不能确定3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为.4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a133,336、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为()(A)6(B)18(C)54(D)817、已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)18、函数y=x3-3x的极大值为()(A)0(B)2(C)3(D)1思考：已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值