5.14平行四边形的性质与判定习题课

主讲教师杜林艳司各庄镇初级中学一级教师22.1~22.2习题课(错解剖学与解题规范）1.熟练掌握平行四边形的定义、性质及判定定理，并能运用它们进行有关的证明和计算。2.通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想。3.在整理知识点的过程中养成独立思考的习惯，避免错解、解题规范、感受成功，并能找到解决平行四边形问题的一般方法和技巧。4知识再现如图：四边形ABCD是平行四边形ABCDO你能得到哪些结论？1.两组对边分别平行2.平行四边形的对边相等3.平行四边形的对角相等∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,AD∥BC∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB=∠DCB,∠ABC=∠ADC一、性质4.平行四边形邻角互补（）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°......边角对角线5.平行四边形的对角线互相平分∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC,OD=OB6.平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点。对称性ABCDO性质：1.从与的关系:两组对边分别平行(定义法)的四边形是平行四边形．平行四边形的判定：∵AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形两组对边分别相等一组对边平行且相等ABCDO∵AB∥CD,AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形2.从与的关系:3.从的相互关系:对角线互相平分的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形（）∵∠DAB=∠DCB,∠ABC=∠ADC又∵∠DAB+∠DCB+∠ABC+∠ADC=360°∴∠DAB+∠ABC=180°∠DCB+∠ADC=180°∴AD∥BCAB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形∵OA=OC,OD=OB∴四边形ABCD是平行四边形所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形ABCDO8基础闯关判断：①平行四边形是轴对称图形（）②平行四边形的边相等（）③平行四边形的内角相等（）④对边平行的四边形叫平行四边形（）╳╳╳╳平行四边形的性质及判定方法掌握不好容易出错1、底高不对应【例1】已知在□ABCD中，AB=6，点A到BC的距离为4，而到CD的距离为5，求四边形ABCD的面积。错解：∵平行四边形的面积=底×高∴S=6×4=24.剖析：A到CD边的距离才是AB边上的高，这里底高位置不对应。正解：S=6×5=30.点评：本题涉及平行四边形的面积，不能停留在对公式的简单套用，而要搞清底和与它对应的高.2、性质糊涂用【例2】如图2，线段BD是平行四边形ABCD的对角线，E、F分别为BC、AD上任意一点，连结EF交BD于点P,判断PE=PF.错解：对.剖析：平行四边形的对角线互相平分，而此处线段EF不是平行四边形ABCD的对角线.正解：错.点评：本题主要考查同学们能否合理运用平行四边形性质的能力，如果添加AF=CE这一条件，结果会怎么样呢？3、审题不清楚【例3】如图3，在□ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，则OE＝OF．为什么?错解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，又∠1＝∠2（对顶角相等），OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°可得△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF..剖析：错解中默认了E、O、F三点共线，而已知条件中并没有这个结论，因此E、O、F三点共线在证题过程中必须加以证明，否则就是错误的.正解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠3＝∠4，AO＝OC，∵OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°可得△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF..或者：证法2：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵OE⊥AD，∴OE⊥BC．又OF⊥BC，∴直线OE与OF重合，即E、O、F三点共线．∴∠1＝∠2．又∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF．点评：平行四边形蕴含着很多特性，如：对边相等且平行，邻角互补、对角线平分、是中心对称图形等.4、考虑不全面【例4】如图4，在ABCD中，∠A的平分线分BC为3.5cm和4.5cm的两部分，求ABCD的周长图4错解：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，又AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∴ABCD的周长为×2=23cm剖析：错在因为思维形成定势，忽略了在分成的两部分中，BE可以为3.5也可以为4.5，因此本题有两解。正解：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，又AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∴ABCD的周长为×2=23cm或[4.5+(4.5+3.5)]×2=25cm.点评：本题涉及分类讨论思想，这是数学中重要思想.131.在ABCD中,∠B=60°,则:(1)∠BAD=＿＿,∠C=＿＿，∠D=____.120°120°60°性质：平行四边形的对角相等CBDA(2)AE⊥BC，AF⊥CD，E、F为垂足，∠EAF=_____.EF60°知识运用14性质：平行四边形的对角相等BDCAFED2.如图:在ABCD中,∠B=110°,延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F＝（）A、110°B、30°C、50°D、70°知识运用153.在ABCD中,AB=4cm，BC=7cm,则这个平行四边形的周长是＿＿＿cm.22平行四边形的对边相等104.在ABCD中,已知AC=3cm，△ABC的周长是８cm,则这个平行四边形的周长是＿＿＿cm.DBCA知识运用165.在ABCD中，EF∥BC，GH∥CD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）A、7个B、8个C、9个D、11个GDBCAEFH两组对边分别平行的四边形是平行四边形.c知识运用Ｏ17例题１：如图，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，AB=10，AD=8，ＤＢ⊥ＡＤ,求ＢＣ,ＣＤ及ＯＢ的长及□ABCD的面积．ＣＡＢＤＯ810∟解：∵四边形ABCD是平行四边形12∴ＯＢ＝ＢＤ＝３2210822ABAD∴ＢＤ＝＝＝６，在Ｒt△ＡＤＢ中，ＡＤ＝８，ＡＢ＝１０，∴ＢＣ＝ＡＤ＝８，ＣＤ＝ＡＢ＝１０S□ABCD4868BDAD规范解题18例2.如图，在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，求证：⑴AB=AE；⑵ED+DC=BC；⑶AE=3，ED=2时，求四边形ABCD的周长。ECBDA32平行四边形的对边平行且相等证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形∴AD∥BC，DC=AB,BC=AD∴∠2=∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3∴AB=AE(2)∵DC=AB,AB=AE,∴AD=ED+AE=ED+AB=ED+DC∵BC=AD∴ED+DC=BC（3）∵AE=3，ED=2∴AD=AE+ED=3+2=5,AB=AE=3∴四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(3+5)=16规范证明1921让我们一起来探索：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC，试探索出FC与BE的关系，并说明你所探索的结论的正确性。BCAEDF123探索：FC=BE∵ED∥BC，即EF∥DCEF∥AC,即ED∥FC（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）∴四边形EFCD为平行四边形（平行四边形对边相等）∴ED=FC∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2∵ED∥BC∴∠1=∠3∴∠2=∠3（等角对等边）∴ED=BE∴FC=BE说明：22让我们一起来证一证：如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，试推理证明:AB+AC2ADACBDM证明：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM、CM。则有AM=2AD∵AD为BC边上的中线∴DB=DC（对角线互相平分的四边形为平行四边形）∴四边形ABMC为平行四边形（平行四边形对边相等）∴CM=AB在△ACM中∴AB+AC2AD∵CM+ACAM23基础题组例题例1：已知E、F是□ABCD边AD、BC的中点，求证：BE=DF。ABCDEFAD，BF=BC∴DE=BF∴四边形EBFD是平行四边形.∴BE=DF证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC即DE∥BF，AD=BC∵E，F分别是AD、BC的中点∴DE=121224基础题组变式已知E、F是□ABCD边AD、BC的点，且AE=CF求证：BE=DF。ABCDEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠A=∠CAE=CF∴△ABE≌△CDF（SAS）∴BE=DF。25基础题组变式二已知如图BE、DF分别是□ABCD内角∠ABC与∠ADC的角平分线。求证：BE=DF。ABCDEF证明：∵平行四边形ABCD中，∴∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，AB=CD∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，∴∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠ADC∴∠ABE=∠CDF在△ABE和△CDF中，∵∠A=∠CAB=CD∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA)∴BE=DF212126能力题组ODABCEF∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO∵AF=CE∴AF－AO=CE－CO∴FO=EO又∵BO=DO∴四边形BFDE是平行四边形∴∠EBF=∠EDF连接对角线BD，交AC于点O证明：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AF=CE。求证：∠EBF=∠EDF27如图所示,已知在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E在BC上,点F在AD上,AF=CE,EF与对角线BD相交于点O,试说明O是BD的中点.BADFCEO当堂测试证明：连接BF，DE在四边形ABCD中∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC,即DF∥BE∵AF=CE∴AD-AF=BC-CE∴DF=BE∴四边形BEDF是平行四边形∴O是BD中点28选择：1．四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，则这个四边形（）A．一定是平行四边形B．一定不是平行四边形C．可能是平行四边形D．上述答案都不对2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BCD．AB=AD，CB=CDCC293.如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF．求证：BE=DF．平形四边形的对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平形四边形平行四边形的对边相等O证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠1=∠2．∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．(SAS)∴BE=DF．证法三：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠DAF=∠BCE．∵AE=CF，∴AF=AE+EF=CF+EF=CE．∴△ADF≌△CBE．∴BE=DF．证明：证法一：连接BD交AC于点O,连接DE,连接BF∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO,AO=CO∵AE=CF，∴EO=FO,∴四边形DEBF是平行四边形∴BE=DF．要想答好平行四边形的题,首先要掌握平行四边形的性质以及判定（这些一定要记住,这是关于平行四边形解题基础）性质：1.平行四边形对边分别相等；2.平行四边形对边分别平行；3.平行四边形对角分别相等；4.平行四边形对角线互相平分；5.平行四边形邻角互补6.平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点。判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；6.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；这些方法不是每道题都能用得到,要根据题