《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2《平面解析几何初步》(二)课

章末复习课本课时栏目开关画一画研一研章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型一对称问题的求法对称问题主要有两大类：中心对称与轴对称两大类．1．中心对称(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效2．轴对称两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例1已知直线l：y＝3x＋3，试求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程．研一研·题型解法、解题更高效解(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l.即y′＋52＝3·x′＋42＋3y′－5x′－4·3＝－1，解得x′＝－2y′＝7.∴P′点的坐标为(－2,7)．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，研一研·题型解法、解题更高效则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立．∴x1＋x32＝3y1＋y32＝2，解得x1＝6－x3y1＝4－y3，代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.即l3的方程为3x－y－17＝0.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练1在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．研一研·题型解法、解题更高效解(1)如图，B关于l的对称点B′(3,3)．AB′：2x＋y－9＝0，由2x＋y－9＝03x－y－1＝0，解得x＝2y＝5，即P(2,5)．(2)C关于l对称点C′(35，245)，由图象可知：|PA|＋|PC|≥|AC′|.当P是AC′与l的交点P(117，267)时“＝”成立，∴P(117，267)．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离；(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形；本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例2在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．解(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d＝22－32＝1.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效由点到直线的距离公式得d＝|－3k－1－4k|1＋k2，从而48k2＋14k＝0，即k＝0，或k＝－724，所以直线l的方程为y＝0，或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)．因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效|1－k－3－a－b|1＋k2＝|5＋1k4－a－b|1＋1k2，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3，或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以a＋b－2＝0，b－a＋3＝0，或a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效解得a＝52，b＝－12，或a＝－32，b＝132.这样点P只可能是点P1(52，－12)，或点P2(－32，132)．经检验点P1和P2满足题目条件．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练2已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解(1)如图所示，|AB|＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝23，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线l的方程为x＝0，或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，即y－6x＋2·y－5x＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型三与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f(x，y)＝0，求yx，y－x，x2＋y2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x，y)是圆上任一点，分别把给定的式子yx，y－x，x2＋y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．解(1)方程x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y－x＝b，则y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练3如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：(1)yx的最大值与最小值；(2)x＋y的最大值与最小值．解(1)设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6所表示的圆C上的任意一点P(x，y).yx的几何意义就是直线OP的斜率，设yx＝k，则直线OP的方程为y＝kx.由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效因为点C到直线y＝kx的距离d＝|3k－3|k2＋1，所以当|3k－3|k2＋1＝6，即k＝3±22时，直线OP与圆相切．所以yx的最大值与最小值分别是3＋22与3－22.(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图②知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝|6－b|2.因为当|6－b|2＝6，即b＝6±23时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋23与6－23.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型四数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做选择、填空题时，有时常能收到奇效．数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例4曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A.0，512B.512，＋∞C.13，34D.512，34解析首先明确曲线y＝1＋4－x2表示半圆，由数形结合可得512k≤34.D本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是()A．|b|＝2B．－1b≤1或b＝－2C．－1≤b≤1D．非A、B、C的结论解析作出曲线x＝1－y2和直线y＝x＋b，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时，则满足|0－0＋b|2＝1，|b|＝2，b＝±2.观察图象，可得当b＝－2或－1b≤1时，直线与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点．B将曲线x＝1－y2变为x2＋y2＝1(x≥0)．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果．圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：本课时栏目开关画一画研一研章末复习课(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直