13.1.2线段的垂直平分线的性质(第一课时)

第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质（第一课时）∴MN⊥ABAC=BCABMNC..教学目标导入新课定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.几何语言∵MN是线段AB的垂直平分线线段垂直平分线的性质如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3…是l上的点，分别量一量点P1、P2、P3…，到点A与点B的距离，你有什么发现？P1A=P1B;P2A=P2B;P3A=P3B…由此你能得到什么规律？AB......P1P2P3l新课讲解线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．ABPCl线段的垂直平分线的性质定理用符号语言表示为：想一想:如何证明线段的垂直平分线的性质定理∴△PCA≌△PCB(SAS)证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°在△APC与△BPC中AC=BC线段的垂直平分线的性质定理可用来证明两线段相等．PC=PC∠PCA=∠PCB已知：直线l⊥AB,垂足为C,AC=BC,点P在l上，求证：PA=PBABPCl{∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？怎样用语言表达？点P在线段AB的垂直平分线上PABCPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上?逆命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.新课讲解线段垂直平分线的判定定理ABPCl∴点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作PC⊥AB于点C∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）线段垂直平分线的判定定理与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上逆命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.已知：如图，PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上∴∠ACP=∠BCP=90°在Rt△ACP和Rt△BCP中PA=PBPC=PC{∴AC=BC∴PC是线段AB的垂直平分线还有其它的证明方法吗？思考：ABPCl你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.ABl1.如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，DB为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（）A．58B．59C．61D．62D巩固知识ABCDEABCDE123【解析】∵DB是∠ADE的角平分线，∴∠1=∠2，∵DE是BC的中垂线，∴BE=CE,∠BED=∠CED=90°在△BDE和△CDE中DE=DE∠BED=∠CED=90°BE=CE{∴△BDE≌△CDE（SAS）∴∠2=∠3∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠1=∠2=∠3=60°∵∠A=58°∴∠ABD=180°-∠A-∠1=180°-58°-60°=62°2.如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，DM是AB的垂直平分线.求证：∠E=∠C.分析：利用全等三角形的判定定理SSS证得△ADE≌△DBC，然后利用全等三角形的对应角相等证得结论．MEDCBAMEDCBA证明：如图，连接AD、BD∵DM是AB的垂直平分线（已知），∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．在△ADE与△DBC中，BC=DE,AE=DC,AD=BD，∴△ADE≌△DBC（SSS），∴∠E=∠C（全等三角形的对应角相等）{已知：直线AB和AB外一点C，求作AB的垂线，使它经过C作法：AB.C.KDEF1.在直线AB的另一侧任取一点K.2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E.3.分别以点D和E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于F.4.作直线CF.直线CF就是所求的垂线(逆定理）.过已知点作已知直线的垂线新课讲解已知：直线AB和AB上一点C，求作AB的垂线，使它经过CABCDEF.A1.以C为圆心，适当的任意长为半径画弧，交直线AB于D,E;2.分别以点D和E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于F.3.作直线CF.直线CF就是所求的垂线.作法：知识巩固1.如图，AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB,AC,CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？EDCBA解：AB,AC,CE的长度关系是AB=AC=CEAB+BD与DE的关系是AB+BD=DE证明：∵AD⊥BC,BD=DC∴AB=AC∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE∴AB=AC=CE∴AB+BD=CE+CD∴AB+BD=DE2.如图，AB=AC,MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗？MCBA证明：∵AB=AC解：直线AM是线段BC的垂直平分线∴点A在线段BC的垂直平分线上∵MB=MC∴点M在线段BC的垂直平分线上∴直线AM是线段BC的垂直平分线课堂小结1.线段垂直平分线定理线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等.4.已知：直线AB和AB外一点C，求作AB的垂线，使它经过C已知：直线AB和AB上一点C，求作AB的垂线，使它经过C2.线段垂直平分线定理与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.3.线段垂直平分线的点集定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的点的集合.解析：点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，只能确定PA=PB，但是无法确定PA+PB和QA+QB大小关系．故选DD1.已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（）A．PA+PB＞QA+QBB．PA+PB＜QA+QBC．PA+PB=QA+QBD．不能确定拓展2.已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．【解析】∵E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，∴EC=ED，∠EDF=∠ECF=90°在Rt△FDE和Rt△FCE中，EC=EDFE＝FE，∴△FDE≌△FCE，∴FD=FC，∵EC=ED，∴FE是CD的垂直平分线{AFDCEB3.如图，在△ABC中，AC=27，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D，△BCD的周长为50，求BC的长．解析：∵DE是AB的垂直平分线∴DA=DB，∵△BCD的周长为50，∴BC+BD+CD=50，∴BC+AD+CD=50，即BC+AC=50，又∵AC=27，∴BC=23．ABCDE4．如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点M.（1）求△AEN的周长.（2）求∠EAN的度数.（3）如果DE交MN于点P，猜想△PBC的形状.解（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE同理，AN=NC∴△AEN的周长=AE+EN+AN=BE+EN+NC=BC=12.（2）∵AE=BE，AN=NC∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN∵∠BAC=100°∴∠B+∠C=80°∴∠BAE+∠NAC=80°∴∠EAN=100°-80°=20°（3）如图所示：连接PA、PB、PC∵DP垂直平分AB∴PA=PB同理：PA=PC∴PB=PC∴△PBC为等腰三角形。NMEDCBAP