天线与电波传播第3,4,5章习题详解

天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）1第三章3.1、两半波对称振子分别沿x轴和y轴放置，其中的电流振幅相同，相位差为90°。试求该组合天线在z轴的辐射场，并说明在z轴上属于何种极化。解：[]{[]}160cossinsincosjkrIjejjrθϕθϕϕϕϕϕ−=+=−−+−EEEee在z轴上属于圆极化。3.2、有一架设在地面上的水平振子天线，其工作频率为7.5MHz。若该天线架设高度为20m，则在垂直于此水平阵子天线的平面内获得最大辐射仰角的Δ为多少度？解：地面上水平对称阵子的阵因子是：()()sinsinaFkhΔ=Δ根据题意，()1aFΔ=，sin2khπΔ=又20hm=，40cmfλ==，得sin0.5Δ=所以最大辐射仰角为：30Δ=3.3、计算/4hλ=直立接地天线的辐射阻抗及其方向系数（假定大地为理想导电平面）。解：天线的辐射阻抗等于同等臂长的自由空间对称振子的辐射阻抗的一半，即36.5521.25()j+Ω由于垂直接地天线辐射的能量仅存在于上半空间，对于同样的上半空间的场强，所需的辐射功率是对称振子的一半，因此，其方向性系数为3.28D=3.5、设有一环长为a的小方环，若将四边分解为四个电基本振子，试由四个振子辐射场叠加的方法证明辐射电阻公式。解：辐射电阻22rrPRI=，辐射功率222001sin240rPErddππθθϕπ=∫∫若验证小方环的四边所产生的电场场强之和E与环天线等效磁基本振子电场2120sinjkrNsEIerϕππθλ−=相同，则辐射电阻公式得证。由于环很小，其周长远小于波长，且aλ，四个边上电流的幅度和相位分布是均匀的，，可等效为四个电基本振子。设环所在平面为XOY平面，建立直角坐标关系如下图：天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）2应用电基本振子远区场电场表达式Irrleee××-jkR0IE=jηe2λR球坐标系与直角坐标系单位矢量的关系为：===ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎧⎪⎨⎪⎩sinθcos+cosθcos-sinsinθsin+cosθsin+coscosθ-sinθxrθyrθzrθeeeeeeeeeee设1R为振子1中心与空间某场点的距离矢量，r为空间某场点的位置矢量，'1r为振子1中心点的位置矢量，re为r的单位矢量，4al=为电基本振子长度，由于在远区lr。⋅11rR=r-re，l1yr=-e2，2l⋅yree1R=r+sinsinθϕ⋅=yree，所以得sinsin2lθϕ1R=r+⋅33rR=r-re，3lyr=e2，32l⋅yreeR=r-sinsinθϕ⋅=yree，所以sinsin2lθϕ3R=r-⋅22rR=r-re，2lxr=e2，22l⋅xreeR=r-sincosθϕ⋅=xree，所以sincos2lθϕ2R=r-天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）3⋅44rR=r-re，4lxr=-e2，42l⋅xreeR=r+sincosθϕ⋅=xree，所以sincos2lθϕ4R=r+1111ll=11rrxrrEe×e×ee×e×e-jkR-jkR00II=jηejηe2λR2λR33333ll=−3rrxrrEe×e×ee×e×e-jkR-jkR00II=jηejηe2λR2λR22222ll=2rryrrEe×e×ee×e×e-jkR-jkR00II=jηejηe2λR2λR44444ll=−4rryrrEe×e×ee×e×e-jkR-jkR00II=jηejηe2λR2λRcoscossinθϕϕ=−+xrrθφe×e×eeecossincosθϕϕ=−−yrrθφe×e×eee11lll=1xrrEe×e×e-jkR0-jksinθsinφ-jkr20θφ1Ijηe2λRI=jηee(-cosθcosφe+sinφe)2λR3333lll=−xrrEe×e×e-jkR0jksinθsinφ-jkr20θφIjηe2λRI=jηee(cosθcosφe-sinφe)2λR天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）4222lll=2yrrEe×e×e-jkR0jksinθcosφ-jkr20θφIjηe2λRI=jηee(-cosθsinφe-cosφe)2λR444lll=−4yrrEe×e×e-jkR0-jksinθcosφ-jkr20θφIjηe2λRI=jηee(cosθsinφe+cosφe)2λR因为lλ，所以分母上Rr≈1332sin()2lllllljk+=+=EE-jksinθsinφ-jkr20θφ1jksinθsinφ-jkr20θφ-jkr0θφI=jηee(-cosθcosφe+sinφe)2λRIjηee(cosθcosφe-sinφe)2λRIjηesinθsinφ(cosθcosφe-sinφe)2λr24(2)sin()2lllllljk+=+=−24EEjksinθcosφ-jkr20θφ-jksinθcosφ-jkr20θφ-jkr0θφI=jηee(-cosθsinφe-cosφe)2λRIjηee(cosθsinφe+cosφe)2λRIjηesinθcosφ(cosθsinφe+cosφe)2λr又lλ，所以02lk∼sinθsinφ，02lk∼sinθcosφ，即sin(22llkk≈sinθcosφ)sinθcosφ天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）5sin(22llkk≈sinθsinφ)sinθsinφ可得总电场1234222[22]2()2120120sinjkrlljklklljklkllllIerπππθλλ−++==−===E=EEE+E-jkr0θφθφ-jkr-jkr0φ0φ-jkrφφIjηesinθsinφ(cosθcosφe-sinφe)2λr-2jsinθcosφ(cosθsinφe+cosφe)IIjηesinθeηesinθe2λr2λrIsinθeee2λr2Sl=，方环等效磁基本振子电场强度为22120sinjkrSEIerπθλ−=φe，所以四个电基本振子电场场强之和与环天线等效磁基本振子场强相同，即面积为24a的方环辐射电阻与相同面积圆环天线辐射电阻相等，本题得证。3.7、设某平行二元引向天线由一个电流为011jmIe°=的有源半波振子和一个无源半波振子组成，间距为/2λ。求：（1）求无源半波振子的电流2mI；（2）判断无源振子是引向器还是反射器；（3）求该二元引向器的总辐射阻抗。解：（1）平行二元引向天线：1111212mmUIZIZ=+1212220mmIZIZ=+由上式可解得：21jmmImeIβ=其中：221212222222RXmRX+=+，12221222XXarctgarctgRRβπ=+−故得：217210.38jjmmImeIeβ==天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）6（2）β角在~2ππ之间，即无源振子上的电流相位滞后于激励振子，此时无源振子起引向器的作用（3）2212191.366.6()mrrrmIZZZjI=+=+Ω第四章4.1、计算长度为6λ的行波单导线的最大辐射方向。解：行波单导线的归一化方向函数为：sin[(1cos)]2()sin(1cos)klFKθθθθ−=−方向函数中sin[(1cos)]2klθ−项随θ的变化比sincot1cos2θθθ=−项快得多，因此行波单导线的最大辐射方向可由sin[(1cos)]12mklθθθ=−=求得。即：arccos(1)23.62mlλθ=−=4.5、一个可展开式螺旋线天线，其中心工作频率为1.7GHz，总长为78.7cm，直径为4.84cm，螺距角为11.7°。计算此螺旋天线的圈数、增益、半功率波瓣宽度以及轴比。解：螺距角：1tan()11.7sDαπ−==，可解得：3.15scm=螺旋一圈的周长22()15.5lDscmπ=+=所以螺旋天线的圈数/5Nll==全增益：21510.4lNsGλλ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠半功率波瓣宽度：0.552262.4lNsθλλ°==轴比：211.12NARN+==4.8、证明无限长双锥天线的辐射功率为20ln[cot(/2)]8hPHηθπ=方向性系数为天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）721sinln[cot(/2)]hhDθθ=证明：将无限长双锥天线电场公式014sinjreEHrβθηπθ−=代入辐射功率计算公式22201sin240hhPErddπθπθθθϕπ−=∫∫计算得20ln[cot(/2)]8hPHηθπ=此计算用到了积分（[lntan]2ln(cot)sin22hhhhhdπθπθθθθθθθ−−==∫）将sin(,),sinhhhFθθϕθθπθθ=−代入方向性系数计算公式2204(,)sinhhDFddπθπθπθϕθθϕ−=∫∫可得21sinln[cot(/2)]hhDθθ=第五章5.2、矩形口面124,3ddλλ==，口面场振幅及相位分布为均匀分布，0syEE=为一常数，试求：（1）H面内半功率波瓣宽度3,2dBHθ（2）H面内第一零点波瓣宽度0,2dBHθ（3）H面内第一副瓣的位置（4）H面第一旁瓣电平HFSLL解：（1）H面内半功率波瓣宽度：3,125112.75dBHdλθ==天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）8（2）H面内第一零点处：10,sin2dBHdβθπ=得：0,228.96dBHθ=（3）H面内第一副瓣的位置2sin1.52dβθπΨ==，得：30θ=（4）最邻近主瓣的第一个小峰值为0.214，所以H面第一旁瓣电平为20lg0.21413.4HFSLLdB==−5.4、矩形波导口的尺寸如题图5.1所示，其口面场振幅分布为：sinsyxEEaπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠口面场的相位均匀分布。试求它的口面利用系数。解：口面利用系数22syAeSAESAAEdAυ==⋅∫∫∫∫dA口面场为正弦振幅分布，即sinsyxEEaπ=时，可得0.81υ=。5.5、H面扇形喇叭长度130Rλ=，E面口径宽度2dλ=（1）用查曲线图的方法，分别求出喇叭H面口径宽度为110dλ=和15λ时的方向性系数；（2）计算上面两种宽度1d时的v值；（3）喇叭长度一定时，方向性系数是否随1d值增大而增大？结合本题说明其原因。解：（1）H面扇形喇叭长度130Rλ=，E面口径宽度2dλ=，查曲线图知：b0axysE题图5.1天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）9110dλ=时，276HDdλ=，故：76HD=115dλ=时，250HDdλ=，故：50HD=（2）110dλ=时，111110.902RdvdRλλ⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠115dλ=时，111111.682RdvdRλλ⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠（3）喇叭长度一定时，方向性系数D随着1d的增大而增大，当达到最大值后又逐渐减小。这是因为随着口面尺寸的增大，口面上按平方律变化的相位差也增大了。口面尺寸的增大使方向性系数增大，而相位差的增大使方向性系数减小，故出现方向性系数的最大值。5.6、要求使角锥喇叭天线在3.2cmλ=时E面和H面内的主瓣半功率张角均为10°，求喇叭口面尺寸、喇叭长度及它的增益系数。〔注意〕当喇叭的几何尺寸不满足最佳条件时，喇叭的增益系数应该用式（5.63）及相应的增益系数曲线图计算得出。解：由题知：3.2cmλ=，0.5210Hθ=，0.5210Eθ=而：0.5225310Edλθ==，0.5128010Hdλθ==得：125.6dcm=，216.96dcm=又：113dRλ=，222dRλ=所以得：21168.273dRcmλ==，22244.942dRcmλ==此时：121.519RR=但是：2111.0321bdad−=−，所以取：168.27Rcm=，266.15Rcm=查曲线图可知：260HDdλ≈，150EDdλ≈天线与电波传播第三、四、五章习题详解李莉（编著）10所以增益系数：21()()24.732HEGDDDdBddπλλ===5.7、设