自动控制第四章--根轨迹法-复习资料

1第四章根轨迹法一、填空选择题（每题2分）1、根轨迹起于开环点，终于开环点。2、根轨迹对称于s平面轴。3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的在s平面上运动后形成的轨迹。4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(ssKsG，若此时闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是。5、如果闭环系统的极点全部分布在s平面的平面，则系统一定稳定。6、系统的开环传函为G(s)H(s)=)4(3ssK，则实轴上的根轨迹范围是（）。A.[-∞,-4]B.[-4,0]C.[0,4]D.[4,∞]根轨迹填空题答案1、根轨迹起于开环极点，终于开环零点。2、根轨迹对称于s平面的实轴。3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的特征方程的根或系统闭环极点在s平面上运动后形成的轨迹。4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(ssKsG，若此时系统的闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是1。5、如果闭环系统的极点全部分布在s平面的左半平面，则系统一定稳定。6、B2二、综合计算题及参考答案a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。解：××-1--1-1-2-30jw×8’(按规则分解)a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。cbad××××××××××解：每项三分+)3)(2()1(ssssK3cbad××××××××××b1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为15.0)15.0()(2sssKsG试绘制闭环系统的根轨迹。并求分离点或会合点。解：G(s)的零、极点标准形式为)1)(1()2()(jsjssKsG因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。它们在实轴上有一个会合点d，系统的特征方程如下：0)(1sG所以有，2222sssK，于是由0dsdK可解得：d＝－3.414,d＝－0.586，显然应取d＝－3.414。4’因此其根轨迹如下图所示：4j-1-2-3-40××d=-3.414-11-1-j-1+j6’b2、（10分）设一单位负反馈控制系统的开环传递函数如下)12()1()(sssKsG试概略绘制出相应闭环根轨迹图（要求确定分离点或汇合点的坐标）。解：该系统的特征方程为0)12()1(1)(1sssKsG，故有1)12(sssK，由0dsdK可以解得分离点的坐标为（-1.707,0）（分离点）和（-0.293,0）（汇合点），根轨迹如下所示4’-1×-0.5×0jd1=-0.293-11d1=-1.7076’b3、（12分）（1）（6分）设某单位负反馈系统的开环传递函数为5)2)(1()(sssKsG问其根轨迹有无分离点，若有，试求出该分离点的坐标。若无，说明理由。（2）（6分）设系统的特征方程为0)4)(1(1sssK求系统根轨迹与虚轴的交点，以及系统的稳定临界开环增益。解:（1）解：该系统的特征方程为0)2)(1(1)(1sssKsG即，)2)(1(sssK3’由此可以求方程0)263(2ssdsdK的根，其根为577.1,423.02,1s因为分离点必定位于0和－1之间，因此该系统的分离点为423.0s。3’(2)解：用js代入系统的特征方程，得0)4)(1(Kjjj2’对上式虚部和实部分别求解，可得052K0432’由此可得，220K2’故，系统根轨迹与虚轴的交点为j，系统的临界开环增益20K。B4、（12分）已知系统的开环传递函数为3)1()()(sKsHsG要求绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的开环增益。解：系统的零、极点标准形式为631)1()()(sKsHsG，其中13KK2’该系统有3重开环极点13,2,1s，无开环零点。根轨迹有三条分支，01K时从开环极点出发，1K时沿着渐近线趋向处。渐近线的相角为)2,1,0(180,603)12(180qqa渐近线与实轴的交点1313a实轴上的根轨迹存在于1至的线段上。2’根轨迹的分离点可以根据系统的特征方程0)1(131sK求得，由0)1(321sdsdK可求得分离点为1。2’系统的根轨迹如下图所示，根据根轨迹图可以得到系统根轨迹与虚轴的交点为3)60(10jtgjj代入特征方程并取模可得331813jK因此，系统的稳定开环增益813KK4’7×0j12’b5、（12分）设控制系统的开环传递函数为)22)(3()2(3)()(2sssssKsHsG试绘制系统的根轨迹。解：（1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j)和(－1－j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。2’（2）确定根轨迹的渐近线渐近线的倾斜角为03180)12()12(KmnKa取式中的K=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。2’三条渐近线如图4-14中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为114)2()1130(111jjzpmnmiinjja2’（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2之间以及极点－3的左边，如图中的粗线所示。从复数极点(－1±j)出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。1’（4）在实轴上无根轨迹的分离点。（5）确定根轨迹与虚轴的交点1’系统的特征方程式为0)2(3)22)(3(2sKssss即06)36(85234KsKsss劳斯行列表4s18K683s5K362s5)36(40KK61sKKK3341503600s6若阵列中的s1行等于零，即（6+3K）－150K/（34-3K）=0，系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程034.230)34.236(402s确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=±j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为ω=1.614。（6）确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p1=（－1＋j）出发的根轨迹的出射角为j)(p)(pp)(p)k(θ132121801111将测得的各向量相角的数值代入并取k=0，则得到6.262’2’系统的根轨迹如图所示。B6、（12分）设控制系统的结构图如下图所示试证明系统虚数根轨迹部分是一个圆。并求系统的最小阻尼比。S平面ωjσ-1-2-3-40j1j2j3-j3135°45°90°26.6°R(s)C(s))2()3(sssK9解：系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。由根轨迹的幅角条件)12()()(11Kpsnzsmijji得)12()2()3(ksss3’s为复数。将js代入上式，则有)12()2()()3(Kjjj即2tan180tan3tan1112’取上述方程两端的正切，并利用下列关系yxyxyxtantan1tantan)tan(有211)3(3313tan3tantan2201202tan180tan12)3(32即222)3()3(这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。证毕。（或从闭环特征方程入手，将js代入也可）4’由坐标原点作圆的切线，此切线与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比。ζ=cosθ=6/33’2’B7、（12分）已知系统固有开环传递函数G(s)H(s)=)1(ssK10(1)绘出固有系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。（2）若固有系统增加一个P3=-3的开环极点，绘出根轨迹，并分析其稳定性。解：（1）极点为0，-1，实轴轨迹[-1，0]渐近线n-m=2条，倾角为900，1800。分离点：dk/ds=0,s=-0.54’由图可知，k0,系统总是稳定的2’(2)增加一个P3=-3，则G(s)H(s)=)3)(1(sssK渐近线n-m=3条，33.134a倾角,33)12(Ka，分离点：dk/ds=0,s1=-0.45，s2=-2.2（舍去），如图。3’稳定性：特征方程s(s+1)(s+2)+k=0，将js代入有：（-ω3+3ω）j+k-4ω2=0因此：-ω3+3ω=0k-4ω2=0得ω=±3，k=12当0K12时，系统稳定。3’c1、（12分）已知控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2sssssKsHsG试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K值的范围。11解（1）系统的开环极点为0，1和－2±j3.46,开环零点为－1。1’（2）确定根轨迹的渐近线渐渐线的倾斜角为14180)12()12(KmnKa取式中的K=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3。渐进线与实轴的交点为323)1()46.3246.3210(111jjzpmnmiinjja2’（3）实轴上的根轨迹位于1和0之间以及－1与－∞之间。1’（4）确定根轨迹的分离点系统的特征方程式为0)1()164)(1(2sKssss即1)164)(1(2sssssK利用0/dsdK,则有0)1(1624211032234sssssdsdK解之可得，会合点和分离点分别是d1=0.46和d2=－2.22。1’（5）确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为0)16(123234KsKsss劳斯行列表为4s112K3s3K162s352KK1sKKKK5283215059200sK若阵列中的s1行全等于零，即052832150592KKKK12系统临界稳定。解之可得K=35.7和K=23.3。对应于K值的频率由辅助方程03522KsK确定。当K=35.7时，s=±j2.56；当K=23.3时，s=±j1.56.根轨迹与虚轴的交点处的频率为ω=±2.56和ω=±1.56。2’（6）确定根轨迹的出射角（自复数极点－2±j3.46出发的出射角）根据绘制根轨迹基本法则，有180)12(905.130120106K因此，开环极点－2±j3.46的出射角为θ1,2=±54.5°。1’系统的根轨迹如下图所示。由图可见，当23.3K35.7时，系统稳定，否则，系统不稳定。2’2’c2、（12分）试用根轨迹法确定下列代数方程的根08644)(234sssssD解：当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得034)86(12342sssssKgS平面13Kg=1时，即为原代数方程式。等效开环传递函数为)1)(3()4)(2()()(2sssssKsHsGg2’因为Kg0,先做出常规根轨迹。系统开环有限零点z1=－2，z2=－4；开环有限极点为p1=p2=0，p3=－1