选修2-3-离散型随机变量的概率分布列讲义

2.1离散型随机变量及其分布列知识梳理知识点1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X,Y，，，…表示．例如，在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0,1,2,3,4}.利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”,{X=4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X3｝在这里表示什么事件吗？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？知识点2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0,1,2，….注意：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出奎屯王新敞新疆注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达奎屯王新敞新疆如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上奎屯王新敞新疆（2）若是随机变量，baba,,是常数，则也是随机变量奎屯王新敞新疆知识点3：分布列设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.知识点4：分布列的两个性质任何随机事件发生的概率都满足:1)(0AP，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和奎屯王新敞新疆即)()()(1kkkxPxPxP.知识点5：两点分布列在掷一枚图钉的随机试验中，令1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列．根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p)．于是，随机变量X的分布列是ξ01P1pp像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布．qP0，pP1，10p，1qp．知识点6：超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为(),0,1,2,,knkMNMnNCCPXkkmC,其中min{,}mMn，且,,,,nNMNnMNN．称分布列X01…mP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.2.2条件概率与二项分布知识梳理：知识点1：设A和B为两个事件，P(A)0，那么，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率.用符号“(|)PBA”来表示，读作A发生的条件下B的概率.知识点2：我们把事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交（或积），记做ABD.一般的我们有条件概率公式(|)PBA定义为()(|)()PABPBAPA.（0)(AP）条件概率的性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0ABP.（2）如果是B和C两个互斥事件,则(|)(|)(|)PBCAPBAPCA.知识点3：相互独立事件及其发生的概率（1）定义：设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件奎屯王新敞新疆若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立奎屯王新敞新疆（2）相互独立事件同时发生的概率：()()()PABPAPB两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积奎屯王新敞新疆一般地，如果事件12,,,nAAA相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()nnPAAAPAPAPA．（3）对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(BAPBPAPBAP奎屯王新敞新疆知识点4：独立重复试验（1）定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验奎屯王新敞新疆（2）独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(．它是(1)nPP展开式的第1k项奎屯王新敞新疆知识点5:离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn由于knkknqpC恰好是二项展开式011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．二、典型例题分析：题型一随机变量、离散型随机变量的概念例1．（1）①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数；②长江上某水文站观察到一天中的水位；③某超市一天中的顾客量奎屯王新敞新疆其中的是连续型随机变量的是（）A．①；B．②；C．③；D．①②③（2）随机变量的所有等可能取值为1,2,,n…，若40.3P，则（）A．3n；B．4n；C．10n；D．不能确定（3）抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（）A．1112；B．3136；C．536；D．112练习：1.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ4”表示的试验结果是什么？2：如果是一个离散型随机变量，则假命题是()A.取每一个可能值的概率都是非负数；B.取所有可能值的概率之和为1；C.取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和奎屯王新敞新疆3.随机变量X的分布列为X-10123p0.16a/10a2a/50.3则a=＿＿＿＿＿＿＿。4.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．题型二。解决超几何分布问题例1．在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：(1)取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．变式1：袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)摸出2个或3个白球(2)至少摸出一个黑球新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（）Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率3．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（）Ａ．甲多Ｂ．乙多Ｃ．一样多Ｄ．不确定题型三：求离散型随机变量的分布列例1．（1）一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．（2）．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X的分布列．变式1.袋子中有1个白球和2个红球．⑴每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．⑵每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．例2.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记为2粒中优质良种粒数，则的分布列是.题型四：求条件概率计算事件A发生的条件下B的条件概率，有2种方法：(1)利用定义：APABPABP(2)利用古典概型公式：AnABnABP例1：抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。变式1：在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。2、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张，已知第一次抽到A，第二次也抽到A的概率为.3、掷骰子2次，每个结果以yx,记之，其中1x，2x分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设10,2121xxxxA，2121,xxxxB，则ABP.题型五：相互独立事件的概率计算例1：甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？变式1．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算：JCJBJA(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概变式2：重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ3)．例2.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作奎屯王新敞新疆假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率奎屯王新敞新疆变式1：如图添加第四个开关DJ与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率奎屯王新敞新疆变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率奎屯王新敞新疆例3.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1