二次函数系数的意义讲义

二次函数系数的意义讲义一．【知识点拨】(1)a,b,,c符号判别二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的符号判别：①a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；②c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下方，则C＜0；③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在Y轴的右侧，则a、b异号；（2）抛物线与x轴交点个数①Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。这两点间的距离：aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121②Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点在x轴上。③Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。（3）二次函数图像的特殊情况：①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则Δ=b2-4ac=0；②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；(4)平移、平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；②左加右减，上加下减（5）用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：cbxaxy2。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。②顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。③交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay。(6)应注意的特殊值：x=1☞y=a+b+c;x=-1☞y=a-b+c.教师寄语：钉子有两个长处：一个是“挤”劲，一个是“钻”劲。我们在学习上，也要提倡这种“钉子”精神，善于挤和钻。X=2☞y=4a+2b+c;x=-2☞y=4a-2b+cX=3☞y=9a+3b+c;x=-3☞y=9a-3b+c二【知识点分类精练】考点1：通过抛物线的位置判断,,,cba的符号．（1）a决定抛物线的开口方向：0a；0a．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，0c抛物线交y轴于；0c抛物线交y轴于；0c．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当ba,同号时对称轴在y轴；0b对称轴为；ba,异号对称轴在y轴，简称为．（4）b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数,当042acb时，抛物线与x轴有交点；当042acb时，抛物线与x轴有交点；当042acb时，抛物线与x轴有交点．例1.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0例2．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号【熟能生巧】：1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、B、c＜0D、a+b+c＞02、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤xy3、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小5、（2011•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4考点2：通过,,,cba的符号判断抛物线的位置：例1．若0,0,0cba，则抛物线cbxaxy2的大致图象为（）例2．若0,0,0,0cba，那么抛物线cbxaxy2经过象限．例3.已知二次函数cbxaxy2且0,0cbaa；则一定有acb420【课堂练习】1．若抛物线cbxaxy2开口向上，则直线3axy经过象限．2．二次函数cbxaxy2的图象如图所示,则下列条件不正确的是()A、0,0,0cbaB、042acbC、0cbaD、0cba3．二次函数cbxaxy2的图象如图，则点bacacbba,42在．（）OyxAOyxBOyxCOyxDOyOxyA、第一象限B第二象限C、第三象限D、第四象限4．二次函数cbxaxy2与一次函数caxy在同一坐标系中的图象大致是()5．二次函数cbxaxy20a的图象，如图，下列结论①0c②0b③024cba④22bca其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点3：二次函数的图像的平移二次函数的平移大致分为两类，即为上下平移和左右平移。（1）上下平移若原函数为cbxaxy2mcbxaxymmcbxaxym22为个单位，则平移后函数向下平移为个单位，则平移后函数向上平移简称为：上加下减，或者上正下负。（2）左右平移若原函数为cbxaxy2，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式khxay2)(然后再进行相应的变形knhxaynknhxayn22)()(数为个单位，则平移后的函若向右平移了数为个单位，则平移后的函若向左平移了简称为：左加右减，或者左正右负。例：（2010年兰州）抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为（）A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=21xxyOOAxyOBxyOCxyODxy【小试牛刀】：1.二次函数1)3(22xy由1)1(22xy向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。2、抛物线3)2(32xy可由抛物线2)2(32xy向平移个单位得到．3、将抛物线5)3(532xy向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是4.把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x2－3x+5，则a+b+c=__________5、抛物线y＝x2－5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式6、在平面直角坐标系中，将二次函数22xy的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A．222xyB．222xyC．2)2(2xyD．2)2(2xy7、将抛物线22yx向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．22(1)yxB．22(1)yxC．221yxD．221yx8、将函数2yxx的图象向右平移a(0)a个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为A．1B．2C．3D．49、把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A．2(1)3yxB．2(1)3yxC．2(1)3yxD．2(1)3yx考点4：二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．【轻车熟路】：1.已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；2.已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式3.抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；三【过关检测】1.（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个2．（2011•鸡西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个3.（2010•梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=54.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c=2；21a③；④b＜1．其中正确的结论是()A．①②B．②③C．②④D．③④5.如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x－m）2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为（）A．－3B．1C．5D．86.若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在x轴上，则b的值为______若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在y轴上，则b的值为______7.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是_________．8.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与y轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1．其中y011x-1图1正确的结论有_________．9.已知一个二次函数的图象是由抛物线22xy沿y轴方向平移得到的，当1x时，4y。求（1）此抛物线的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而减少。10.已知抛物线上两点（-1，Q)和（3，Q)。且无论x取何值，函数值都不会超过4，与X轴的一个交点的横坐标是4，求此抛物线的解析式；四【课外作业】1、（2009黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0②2a+b＜0③4a－2b+c＜0④a+c＞0，其中正确结论的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（）①a+b+c＜0；②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2aA.4B.3C.2D.13.（2010•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44.（2011湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数1axy与二次函数axy2的图像可能是5.在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．22yxxB．22yxxc.22yxxD．22yxx6.（2004•黄冈）在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（5