人教版八年级数学上册三角形知识点专题复习及练习

八年级数学上册三角形知识点专题复习一、三角形相关概念1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示：通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。3．三角形中的三种重要线段：三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量。而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点。这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在三角形外部。③画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边。故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+bc，b+ca，c+ab．②三角形两边之差小于第三边。故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：ab-c，ba-c，cb-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角：结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角：1．定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B,∠ACD∠A,∠ACD∠B.③三角形的一个外角与之相邻的内角互补3．外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。2.凸多边形的定义：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。如图：3.在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形4.填表：（注下表所列的多边形均为正多边形）３４５６７８９１０内角和180º360º540º720º900º1080º1260º1440º每一个内角的度数60º90º108º120º900º/7135º140º144º外角和360º每一个外角的度数120º90º72º60º360º/745º40º36º①n边形的内角和为（n－2）×180°②多边形的外角和为360°③多边形的对角线2)3(nn条对角线（七）多边形的镶嵌1.镶嵌：用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌．注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠2.用一种正多边形镶嵌：①.用边长相同的正三角形可以镶嵌②.用边长相同的正方形可以镶嵌③用边长相同的正六边形可以镶嵌④形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌⑤形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌⑥用边长相同的正五边形、正八边形不能镶嵌3.镶嵌平面图案需要的什么条件：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360度。即：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．4.多种正多边形的平面镶嵌几种情况：①正三角形+正方形可以镶嵌（3△、2□）②正三角形+正六边形可以镶嵌（2△、2正六方边形或4△、1正六方边形）③正八变形+正方形可以镶嵌（2个正八变形与1个正方形）④正三角形+正12边形可以镶嵌（2个正12变形与1个正三角形）2题图DCBAEEACBACBABCABCEE⑤正五变形+正三角形+正方形可以镶嵌（2正五变形、1个正三角形和1个正方形）⑥正六边形+正方形+正三角形可以镶嵌（1个正六边形、2个正方形和1个正三角形）（见课件）例：典型例题分析：例1..对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.例2.下列说法错误的是().A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点例3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是()CBA(3)(1)CBACBA(2)6题图7题图5题图FEDDFDEBCAACBBCA变式题1：如图3，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，则∠B等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°变式题2：如图4，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（）A.∠1=2∠2B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°例4.如图7，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABCS=42cm，则S阴影等于()A．22cmB.12cmC.3122cmD.2.52cm例5.如图7，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_____的中线。变式题1：如图6，BD=12BC，则BC边上的中线为______，ABDS=__________。例6.如图1，在△ABC中，∠BAC=600，∠B=450，AD是△ABC的一条角平分线，则∠DAC=0，∠ADB=01题DCBA变式题1：如图2，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空：⑴BE==21；⑵∠BAD==21⑶∠AFB==900；变式题2：如图在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。那么图中与∠A相等的角是（）A、∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDC变式题3：在△ABC中，∠A=21∠C=21∠ABC，BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数（)变式题4：已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠F2题EDCBADCBADCBAEDCBAACD，求∠E的度数变式题5：如图，在△ABC中，D,E分别是BC，AD的中点，ABCS=42cm，求ABES.例7.关于三角形的边的叙述正确的是（）A.三边互不相等B、至少有两边相等C、任意两边之和一定大于第三边D、最多有两边相等例8.已知△ABC中，∠A=200，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形例9.下面说法正确的是个数有（）①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。A、3个B、4个C、5个D、6个_E_D_B_C_A例10.一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角例11.如图是一副三角尺拼成图案，则∠AEB_________°.例12.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm变式题1.用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的不同的三角形的个数为解析：设三角形的边长分别为x、y、z．则7zyx其中x、y、z都是正整数，那么三边长的可能情况有3,2,2;3,3,1;4,2,1;5,1,1再根据三角形的两边之和大于第三边进行验证，可知只有1，3，3；2，2，3符合要求．变式题2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A、3，4，8B、5，6，11C、1，2，3D、5，6，10变式题3.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为()A、13B、17C、13或17D、不能确定BCADE5题图AOB变式题5.△ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范围是_________.变式题6.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是变式题7.一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和5㎝，那么它的周长为变式题8..已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.例13.不是利用三角形稳定性的是()A.自行车的三角形车架B、三角形房架C、照相机的三角架D、矩形门框的斜拉条变式题1：下列图形中具有稳定性的有（）A、正方形B、长方形C、梯形D、直角三角形变式题2：下列图形中具有稳定性有（）A、2个B、3个C、4个D、5个变式题3：如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是()A、三角形的稳定性B、两点确定一条直线（6）（5）（4）（3）（2）（1）C、两点之间线段最短D、垂线段最短变式题4：.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的性；例14.已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B=0，∠C=0变式题1如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；变式题2.如图，已知点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系例15.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是___三角形变式题1.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°变式题2.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数().PCBA图4432140?4题图EBDACH8题图150503217题图1408016题图FEACBDA