导数在实际生活中的应用1教案

扬州市新华中学高二数学教案：X1341日期：20131224编号：31建立数学模型导数在实际生活中的应用1教学目标1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2、提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点理利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题；(2)与物理学有关的最值问题；(3)与利润及其成本有关的最值问题；(4)效率最值问题。2、解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．3、利用导数解决优化问题的基本思路：三．例题讲解4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为128512()(4)(2)12828,0Sxxxxxx求导数，得'2512()2Sxx。令'2512()20Sxx，解得16(16xx舍去）。于是宽为128128816x。解决数学模型作答优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案用函数表示的数学问题扬州市新华中学高二数学教案：X1341日期：20131224编号：31_x_x_60_60x建立数学模型x当(0,16)x时，'()Sx0；当(16,)x时，'()Sx0.因此，16x是函数()Sx的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。5、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得2VhR，则S(R)=2πR2VR+2πR2=2VR+2πR2令22()VsRR+4πR=0解得，R=32V，从而h=2VR=23()2VV=34V=23V即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值奎屯王新敞新疆答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省奎屯王新敞新疆6、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高602xhcm，得箱子容积260)(322xxhxxV)600(x．扬州市新华中学高二数学教案：X1341日期：20131224编号：3123()602xVxx)600(x令23()602xVxx＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值奎屯王新敞新疆答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积xxxV2)260()()300(x．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322xxhxxV、xxxV2)260()(在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值奎屯王新敞新疆练习：在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）、如果C(x)＝10005003.010236xxx，那么生产多少单位产品时，边际)(xC最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060扬州市新华中学高二数学教案：X1341日期：20131224编号：31变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为qp8125．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588Rqpqqqq，利润221125(1004)2110088LRCqqqqq(0100)q1214Lq令0L，即12104q，求得唯一的极值点84q奎屯王新敞新疆答：产量为84时，利润L最大奎屯王新敞新疆四、回顾反思：1．利用导数解决优化问题的基本思路：2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。五、板书设计六、教学反思解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案