全等三角形辅助线技巧

注意全等三角形的构造方法搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1．截长补短法例1．如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC．解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º，∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE,∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º,∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC．2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ．说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法”．⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．②如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC来解决．④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）．ABCPQDOOABCPQD图（2）ABCPQDE图（3）OABCPQ图（4）DOABCPQ图（5）DOABCDFEG图（1）3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。例3．已知：如图（6），P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形．略解：将△BAP绕A点逆时针方向旋转60°至△ACD，连接PD，则△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60°，又∵PC=5，PD2+DC2=PC2图（6）∴△PDC为Rt△,∠PDC=90º∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90º=150º．4．倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例4．如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．求证：AC=BF证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD，∠BDH=∠ADC，DH=DA，∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF，∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=图（7）∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF．5．翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．例5．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45º,AD⊥BC，若BD=3，DC=2，求：△ABC的面积．解：以AB为轴将△ABD翻转180º，得到与它全等的△ABE，以AC为轴将△ADC翻转180º，得到与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3）2+（x-2）2=52．解得x=6，则AD=6，∴S△ABC=21×5×6=15．图（8）ABCPDEABCDFHABCDEGF