3.2矩阵的秩与线性方程组有解的判定

矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵nmA一、矩阵秩的概念矩阵的秩1.k阶子式.,,,12阶子式的称为矩阵阶行列式的中所处的位置次序而得变它们在不改元素个处的），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm..)()(0102阵的秩等于零并规定零矩或的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义ArARArADrDrA.)(子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵AARAnm，对于TA.显然有显然有：),min()(0nmAR2.最高阶非零子式和秩)()(ARART例1.174532321的秩求矩阵A解中，在A，阶子式只有一个的又AA3.03221，且0A.2)(AR例2，求该矩阵的秩．已知510231202231A,022031102120231502320231解计算A的3阶子式，,0,0510312223512310221,0,0.0.2AR例3.00000340005213023012的秩求矩阵B解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(BR显然：.非零行行数行阶梯形矩阵的秩为其.,把它变为行阶梯形变换总可经过有限次初等行对于任何矩阵nmA问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？.,~1BRARBA则若定理二、矩阵秩的求法1、初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2、做初等变换，对矩阵510231202231A例2另解,000031202231~510231202231显然，非零行的行数为2，.2AR此方法简单！例4．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设AAA,41461351021632305023.3)(AR00000840001134041461A行初等变换.的一个最高阶子式求A,3)(AR.3阶的最高阶非零子式为知A6235025231106502523116522.016则这个子式便是A的一个最高阶非零子式.，阶可逆矩阵设An,0A,AA的最高阶非零子式为,)(nAR.~,EAEA的标准形为单位阵故.为满秩矩阵数，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于其阶4、.),,min()(,),,min()(为降秩矩阵则称若为满秩矩阵则称一般地，若AnmARAnmARA可逆A非奇异|A|0A满秩A的最高阶非零子式为|A|A的标准形为E.线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组,)(ijaA系数矩阵为,21nxxxX,21nbbbb线性方程组可记为：bAX1)m=n时,A是n阶方阵,若|A|0,则可用克莱姆法则求解,或用A的逆矩阵表示解.2)对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求解?例1若某方程组经同解变换化为5112332321xxxxxx510011101121__A显然，有唯一解.例2若某方程组经同解变换化为51123232321xxxxxxx511011101121__A即60112332321xxxxxx600011101121显然，无解.例3解方程组54322521321321321xxxxxxxxx解543225211111__A361016101111200016101111200016100701无解.例4解方程组283543324222135432154321543215321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解281111354133242122130111__A351200044200022100130111393000000000022100130111000000131000022100130111000000131000240100130111000000131000240100170011任意（自由未知量），525453521,314271xxxxxxxxx为方程组的全部解.增广矩阵经行初等变换化为行最简形矩阵，该阶梯形与方程组解的关系：行最简形矩阵中非零行的行数未知量个数无穷多解000000131000240100170011__A200016100701__A该数不为零，无解510011101121__A行最简形矩阵中非零行的行数=未知量个数唯一解：的增广矩阵为设线性方程一般地，bAXmmnmmnnbaaabaaabaaabA21222221111211行初等变换000000000000000001111,1,221,2111,1rrnrrrnrnrddccdccdcc000000000000000001111,1,221,2111,1rrnrrrnrnrddccdccdcc；无解,0.11rd：有解,0.21rd.,,,:12211nndxdxdxnr：有唯一解：有无穷多组解:2nr1.非齐次线性方程组:4bxAnnm元非齐次线性方程组定理;,)()1bARAR无解的充要条件;,)()2nbARAR有唯一解的充要条件.,)()3nbARAR有无穷多解的充要条件有唯一解bAxnBRARnBRAR有无穷多解.bAx无解bAxBRAR)()(5BRARbAx是有解的充分必要条件线性方程组定理.06nARxAnnm矩阵的秩的充分必要条件是系数有非零解元齐次线性方程组定理2.齐次方程方程组