结构非线性分析的有限单元法

15.1非线性问题分类及求解第五章结构非线性分析的有限单元法简介5.2非线性问题求解方法5.3材料非线性5.4几何非线性5.5边界非线性5.6非线性弹性稳定性问题5.7非线性分析特点5.8ANSYS非线性结构计算示例5.9ANSYS稳定性计算示例25.1非线性问题分类及求解当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产生的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方向和受力特点。静力平衡方程表示为：PK其基本方程的特点如下：a．材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。b．结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。c．结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于结构变形前，即结构原始状态的基础之上。d．结构的边界（约束）条件为线性关系。不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。5.1.1非线性问题分类第五章结构非线性分析的有限单元法简介3习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界非线性。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为混合非线性问题。对于上述非线性问题总可归结为两大类，即材料非线性和几何非线性。非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大步骤如下：(1)单元分析非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材料非线性时，使用材料的非线性物理（本构）关系。仅为几何非线性时，在计算应变位移转换矩阵[B]时，应该考虑位移的高阶微分的影响。同时，具有材料和几何非线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。5.1.2非线性问题求解第五章结构非线性分析的有限单元法简介4(2)整体刚度矩阵集成整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理，与线性问题求解相似。(3)非线性平衡方程求解对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表为PKT求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼近的方法求之。即0PKT求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增量法两大类。第五章结构非线性分析的有限单元法简介5图10-1位形描述示意图5.2.1直接迭代法将平衡方程写成如下迭代格式01PKnnT具体迭代过程简述如下取初始值05.2非线性问题求解方法返回章节目录第五章结构非线性分析的有限单元法简介6则得到00TTKK得到改进解PKT101重复上述过程，总结得出近似递推公式PKKKnTnnTnT11以一维非线性问题为例，直接迭代法的几何意义见图10-2。图10-2直接迭代法的几何意义第五章结构非线性分析的有限单元法简介75.2.2牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法0n非线性方程组在附近的近似0nnF一般情况下，0F故可得其解为1111nnnnnnF图10-3N—R迭代法的几何意义图10-4修正牛顿法迭代几何意义线性方程组为第五章结构非线性分析的有限单元法简介85.2.3载荷增量法0,PKT为载荷因子，用来描述载荷变化的参数，对应于，对应于，则0,上式的泰勒展开式为,,令,TTKK得P则有0PKT第五章结构非线性分析的有限单元法简介9或为PKT1假设将载荷因子分为m个增量，并设10210mnn1有11nmn相应载荷为PPnnPPPPnnnn1则方程组的迭代公式为nnnnnTnPK11当满足收敛准则时，迭代终止。第五章结构非线性分析的有限单元法简介10图10-5载荷增量法的几何意义5.3材料非线性5.3.1材料非线性特征材料非线性问题可划分为以下三种类型。（1）非线性弹性问题（2）弹塑性问题有限单元法求解方程的形式相同，即表现为DDdVBDBKTPK返回章节目录第五章结构非线性分析的有限单元法简介11(a)非线性弹性问题(b)弹塑性问题(c)理想塑性问题(d)强化塑性问题图10-6材料非线性问题第五章结构非线性分析的有限单元法简介12（3）蠕变与应力松弛问题在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷作用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。在不增加应变情况下，在常值位移作用下应力随时间缓慢减小的现象称之为应力松驰。考虑蠕变问题，就是要考虑在材料的本构关系中其粘性的影响程度。具有粘性的材料又可分为线性粘性材料和非线性粘性材料。第五章结构非线性分析的有限单元法简介135.3.2材料非线性模型应力仅为应变的函数，加卸载规律相同。材料模型示意图特点示例弹性元件：线性非线性对于线弹性材料[D]]是常数，非线弹性材料[D]是位移向量的函数。在应力充分小的情况下几乎包括所有材料例如，金属、岩石、玻璃、木材。}{}{D第五章结构非线性分析的有限单元法简介14dtd应变随时间变化，应力与系数有关。粘性元件高温环境下的金属材料、地壳岩石等。t式中——粘性系数——时间)0(s)0()0(＞HsssH理想塑性强化塑性式中——屈服应力，塑性元件岩石在承受的荷载超过一定值时，如较高的围岩压力时表现出理想塑性特性。——塑性强化模量。第五章结构非线性分析的有限单元法简介15peep弹塑性变形时总应变包括两部分。式中——弹性应变，弹塑性元件——塑性应变。加载时使用增量理论。应力足够大时的金属、岩石、土壤。第五章结构非线性分析的有限单元法简介16Eve21v粘弹性元件串联——麦克斯韦尔(Maxwll)模型，一般描述材料的松弛特性。其特点式中——粘性系数，粘弹性元件金属、聚合物。——蠕变应变。Eve21粘弹性元件并联——开尔文(Voigt—Kelvin)模型，一般描述材料的蠕变特性。其特点第五章结构非线性分析的有限单元法简介17sssvp当当021粘性和塑性元件并联——宾汉（Binhan）模型实际可视为刚性—塑性模型，仅当材料的应力达到其屈服应力时，才能够产生塑性流动，流动的速度与粘性系数及载荷值有关。粘塑性元件vp21时的瞬时应变—当—当当svssp0粘性和塑性元件串联——拟粘性流体模型。特点式中高应变率的金属、聚合物高温下的金属，油漆等粘稠胶状物。第五章结构非线性分析的有限单元法简介185.3.3弹塑性问题有限元分析(1)单元刚度矩阵单元刚度矩阵可分成三种情况来考虑，即弹性阶段、过渡阶段和弹塑性阶段。对于应力处于弹性阶段的单元，单元刚度矩阵ek按弹性问题处理dVBDBkVeT对于应力已超过屈服应力的单元，单元刚度矩阵Pk按弹塑性刚度矩阵计算。dVBDBkPVPT一般过渡单元刚度矩阵为dVBDBktVtT返回章节目录第五章结构非线性分析的有限单元法简介19式中tD为过渡单元的弹塑性矩阵，取为弹性和塑性矩阵的加权平均值。101＜m＜DmDmDPt其中，m为加权因子．当m＝1时为完全弹性；m＝0为完全塑性。m值的物理意义见图10-7。图10-7m值的物理意义第五章结构非线性分析的有限单元法简介20(2)弹塑性有限元解法弹塑性问题求解常用切线刚度法、初应力法或切线刚度法等增量法。同样，弹塑性问题的平衡方程可以表示为PKT按照增量法求解时，步骤如下。Pe①首先求出全部载荷向量作用之下的弹性解ee②计算由于弹性解产生的相应等效应力Pe③施加载荷增量，计算各单元由此产生的应变增量④根据每个单元的变形状态（弹性、塑性或弹塑过渡区），计算其单元刚度矩阵，集成形成总体刚度矩阵。第五章结构非线性分析的有限单元法简介21⑤重新计算位移增量，进而计算单元应变增量和等效应变增量，依次修改相应的m值。重复以上④~⑤步骤计算过程，一般修改m值2~3次即可⑥计算位移和应力增量，并将位移、应变、应力增量迭加到增量作用前的水平上。⑦重复④~⑥步骤计算过程，直至完成所有的增量步。⑧作卸载计算，求出残余应力和残余应变。⑨输出计算结果。第五章结构非线性分析的有限单元法简介225.4几何非线性5.4.1几何非线性特征几何非线性问题又可分为两大类，即大位移、小应变问题和大位移、大应变问题。(a)大位移、小应变问题(b)大位移、大应变问题返回章节目录图10-8几何非线性问题第五章结构非线性分析的有限单元法简介23几何非线性问题比线性问题复杂得多，非线性问题与线性问题主要不同之处如下。a．对于大位移、小应变问题，虽然应力应变关系是线性关系，但计算应变位移关系时,位移的高阶导数项的影响不能够忽略，因而应变与位移呈现非线性关系。b．对于有限变形问题，即大位移、大应变的情况，应力——应变关系也是非线性的。c．几何非线性问题的平衡方程组，建立在结构变形后的位形状态上，而这个位形状态在求解过程中总是变动的。d．随着有限位形的变化，材料的本构方程亦发生变化。采用不同的参考位形将得出不同的本构方程式。第五章结构非线性分析的有限单元法简介245.4.2几何非线性有限元分析由虚功原理vxvxeedVdxdydzFT*T*T*则有vxeedVFT*T*因为PFeeT*T*故有PdVvxT*T*虚应变与虚位移的关系式为**Bx由于虚位移的任意性，由此可得出非线性问题的一般平衡方程式返回章节目录第五章结构非线性分析的有限单元法简介25dKKKdKdKdKdVdBBDBBdKdVdBDBdVBddVdBdVBddNLSNLSVNLTNLSVTVNVVTTTTT式中dVBddKVNSTdVBDBKNTVNSTVLTLLdVBDBKTVLTNNTNNTLNdVBDBBDBBDBKTTT第五章结构非线性分析的有限单元法简介26由此，平衡方程式的增量形式可简记之dKdTSNLTKKKK5.4.3杆单元刚度图示杆单元的长度为l，截面积为A，弹性模量为E。图10-9杆单元位移示意图返回章节目录第五章结构非线性分析的有限单元法简介27设单元形函数lxNlxN21,1单元内任意点位移列向量轴向应变为eeNNNNNvu21210000dxdvdxdux212210102101011eexll则有eNeLe