2020年山西省高考数学(理科)模拟试卷(2)

第1页（共28页）2020年山西省高考数学（理科）模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．∅2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|﹣i|，则z＝（）A．B．C．1﹣iD．3．（5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1＝d；q：数列{an}是公差为d的等差数列，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数的图象大致为（）A．第2页（共28页）B．C．D．6．（5分）元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x＝0，问一开始输入的x＝（）第3页（共28页）A．B．C．D．7．（5分）（3x3+）7展开式中的常数项是（）A．189B．63C．42D．218．（5分）刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A．B．C．3πD．4π9．（5分）若x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[﹣∞，﹣]∪[1，+∞）C．[0，1]D．[，1]第4页（共28页）10．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F作圆x2+y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）若点G为△AOB的中线OM的中点，过点G作直线分别交OA，OB与点平P，Q．设＝m，＝n，则+的值为（）A．4B．1C．D．212．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x），对于任意实数x都有f（﹣x）＝f（x）﹣2x成立，且当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，若f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为．14．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示，则φ＝．第5页（共28页）15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是．16．（5分）已知数列{an}的通项an＝2n﹣1，把{an}中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形矩阵．①数阵中第5行所有项的和为；②2019是数阵中第i行的第j列，则i+j＝．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，面积为S，已知A为锐角，且（b2+c2﹣2R2）tanA＝4S．（1）求A；（2）若a＝1，求S的最大值．18．（12分）在四边形ABCP中，；如图，将△PAC沿AC边折起，连结PB，使PB＝PA，求证：（1）平面ABC⊥平面PAC；第6页（共28页）（2）若F为棱AB上一点，且AP与平面PCF所成角的正弦值为，求二面角F﹣PC﹣A的大小．19．（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则X＝2）．（1）写出X的所有可能值构成的集合；（2）假设a1，a2，a3，a4的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2．（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．20．（12分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆E，P为椭圆C上一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）若P为椭圆C上任意一点，求的值；（ii）若P点坐标为（0，1），求△ABQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣x+lnx（a＞0）．第7页（共28页）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y＝0垂直，求a的值及函数g（x）＝f（x）﹣2lnx的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极大值和极小值分别为m，n，证明：m+n＜2ln2﹣3．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），已知点Q（6，0），点P是曲线C1上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝4，求k的值五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝x|x+a|+x（a∈R）．（1）若a＝2，写出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；（2）若对任意的x∈[1，2]，恒有f（x）≤2x2成立，求实数a的取值范围；（3）若a≤﹣3，函数f（x）在[1，3]上的最大值为12，求实数a的值．第8页（共28页）2020年山西省高考数学（理科）模拟试卷（2）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．∅【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝（2，3）．故选：A．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|﹣i|，则z＝（）A．B．C．1﹣iD．【分析】求出等式右边的模，再把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z＝|﹣i|＝2，得z＝，故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为（）A．B．C．D．【分析】由随机模拟方法求得奥运会五环所占面积，求出五个圆的面积，则答案可求．第9页（共28页）【解答】解：五个圆的面积为5π×12＝5π，长方形面积为10×6＝60，设奥运会五环所占面积为S，由于＝⇒s＝，又＝P＝故选：B．【点评】本题考查几何概型，训练了利用随机模拟方法求几何体的面积，是中档题．4．（5分）已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1＝d；q：数列{an}是公差为d的等差数列，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充要条件和等差数列的定义，可得答案．【解答】解：若对于任意n∈N*，an+2﹣an+1＝d；则a2﹣a1＝d不一定成立，即q不一定成立；即p是q的不充分条件；若数列{an}是公差为d的等差数列，则对于任意n∈N*，an+2﹣an+1＝d；即p是q的必要条件，故p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，正确理解充要条件的定义，是解答的关键．5．（5分）函数的图象大致为（）A．第10页（共28页）B．C．D．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当x＞0时的单调性，利用排除法进行求解即可．【解答】解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当x＞0时，f（x）＝＝x﹣为增函数，排除A，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．第11页（共28页）6．（5分）元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x＝0，问一开始输入的x＝（）A．B．C．D．【分析】与店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，三遇店和，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次，等量关系为：第一次加酒﹣1+（2×一遇店和朋友后剩的酒量﹣1）+（2×二遇店和朋友后剩的酒量﹣1）＝0，把相关数值代入即可求解．【解答】解：由题意，解方程：2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0，解得x＝，故选：B．【点评】考查用一元一次方程解决古代数学问题，得到酒的数量为0的等量关系是解决本题的关键；难点是理解题意．7．（5分）（3x3+）7展开式中的常数项是（）A．189B．63C．42D．21【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出展开式中的常数项．【解答】解：展开式的通项公式为：Tr+1＝•（3x3）7﹣r•＝•37﹣r•，第12页（共28页）令21﹣＝0，解得r＝6；所以展开式中的常数项是T7＝•3＝21．故选：D．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．8．（5分）刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A．B．C．3πD．4π【分析】根据三视图得出四棱锥的结构特征，根据四棱锥与长方体的关系计算外接球的直径与体积．【解答】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，第13页（共28页）∴外接球的体积为V＝•＝π．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题，也考查了几何体外接球的应用问题，是中档题．9．（5分）若x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[﹣∞，﹣]∪[1，+∞）C．[0，1]D．[，1]【分析】问题转化为在约束条件的目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【解答】解：作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A