数学分析9.3可积条件

第九章定积分3可积条件一、可积的必要条件定理9.2：若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界.证：若f在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T，必存在属于T的某个小区间△k，f在△k上无界.在i≠k的各个小区间△i上任取ξi，并记G=|ikiix△)ξ(f|.对任意大的正数M，存在ξk∈△k，使得|f(ξk)|kx△GM，于是有|ikiix△)ξ(f|≥|f(ξk)△xk|-|ikiix△)ξ(f|kx△GM·△xk-G=M.因此，对于无论多小的║T║，按上述方法选取的点集{ξi}，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f在[a,b]上可积矛盾.∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。例1：证明狄利克雷函数D(x)=.x0，x1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1,x∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密可知，在属于T的任一小区间△i上，当取ξi全为有理数时，in1iix△)ξ(D=1；当取ξi全为无理数时，in1iix△)ξ(D=0.即不论║T║多么小，只要点集{ξi}取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限，∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f在[a,b]上有界，T是[a,b]上的任一分割，则在每个△i存在上、下确界：Mi=ixsupf(x)，mi=ixinff(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=n1iiixM,s(T)=n1iiixm，分别称为f关于分割T的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则任给ξi∈△i,i=1,2,…,n，有s(T)≤in1iix△)ξ(f≤S(T).注：达布和与点集{ξi}无关，只与分割T有关.定理9.3：(可积准则)函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε0，总存在相应的一个分割T，使得S(T)-s(T)ε.注：设ωi=Mi-mi，称为f在△i上的振幅，可记为ωif，则有S(T)-s(T)=in1iix△ω，可记作Tiix△ω.定理9.3’：函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε0，总存在相应的某一分割T，使Tiix△ωε.可积的充要条件的几何意义：若f在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理9.4：若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上可积.证：f在[a,b]上连续，从而一致连续.∴任给ε0，存在δ0，对[a,b]中任意两点x’,x”，只要|x’-x”|δ，就有|f(x’)-f(x”)|abε.对[a,b]作分割T使║T║δ，则在T所属的任一区间△i上，就能使f的振幅满足ωi=ix,xsup|f(x’)-f(x”)|≤abε，从而有Tiix△ω≤abεTix△=ε，原命题得证.定理9.5：若f为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]上可积.证：设端点b是f在[a,b]上的间断点，任给ε0，取δ’0，满足δ’m)2(Mεb-a，其中M与m分别为f在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M时,f为常量函数，可积.当mM时，记f在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则ω’δ’(M-m)·m)2(Mε=2ε.又f在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T’={△1,△2,…,△n-1}，使得Tiix△ω2ε.令△n=△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n}是对[a,b]的一个分割，对于T，有Tiix△ω=Tiix△ω+ω’δ’2ε+2ε=ε.∴f在[a,b]上可积.同理可证f在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理9.6：若f是[a,b]上的单调函数，则f在[a,b]上可积.证：设f为增函数，且f(a)f(b).对[a,b]的任一分割T，由f的增性，f在T所属的每个小区间△i上的振幅为ωi=f(xi)-f(xi-1)，于是有Tiix△ω≤T1-iiT)]f(x-)[f(x=[f(b)-f(a)]║T║.可见，任给ε0，只要║T║b)(f)bf(ε，就有Tiix△ωε.∴f在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)=1,2,nn1x1n1n1，0x0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x1x2.若1n1x1x2≤n1,n=1,2…，则f(x1)=f(x2)；若2n1x1≤1n1x2≤n1或1n1x1≤n1x2≤1n1,n=1,2…，则2n1=f(x1)f(x2)=n1或n1=f(x1)f(x2)=1n1.同理可证，当x1x2时，f(x1)≤f(x2)，∴f在[0,1]上的单调增.∴f在[0,1]上可积.证法二：任给ε0，∵n1limn=0，∴当n充分大时，有n12ε.即f在[2ε,1]上只有有限个间断点.∴f在[2ε,1]上可积，且存在对[2ε,1]的某一分割T’，使得Tiix△ω2ε.∴对[0,1]的一个分割T，由f在[0,2ε]的振幅ω00，可得Tiix△ω=ω0+2εTiix△ω2ε+2ε=ε.∴f在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)=.)1,0(0,1x0p.q，qp,，qpxq1内的无理数以及互素，，在区间[0,1]上可积，且10f(x)dx=0.证：任给ε0，在[0,1]内使得q12ε的有理点qp只有有限个，设它们为r1,r2…,rk.现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n},使║T║2kε，将T中所有小区间分为{△i’|i=1,2,…,m}和{△i”|i=1,2,…,n-m}两类，其中{△i’}为含有点{ri|i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m≤2k.而{△i”}为T中所有其父不含{ri}的小区间.∵f在△i’上的振幅ωi’≤21，∴im1iix△ω≤21m1iix△≤21·2k║T║2ε，又f在△i”上的振幅ωi”≤2ε，∴im-n1iix△ω≤2εm-n1iix△2ε.∴in1iix△ω=im1iix△ω+im-n1iix△ω2ε+2ε=ε，∴f在区间[0,1]上可积.当取ξi全为无理数时，使f(ξi)=0，∴10f(x)dx=in1ii0Tx△)f(ξlim=0.习题1、证明：若T’是T增加若干个分点后所得的分割，则Tiix△ω≤Tiix△ω.证：依题意s(T’)≤s(T),S(T’)≥S(T).∴s(T’)-S(T’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f在[α,β]上也可积.证：∵f在[a,b]上可积，∴任给ε0，总存在相应的一个分割T，使得S(T)-s(T)ε.又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T’，T’是T减少若干个分点所点后所得的分割，即有s(T’)≥s(T),S(T’)≤S(T).∴S(T’)-s(T’)≤S(T)-s(T)ε，得证.3、设f,g均为定义在[a,b]上的有界函数.证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且baf(x)dx=bag(x)dx.证：记F=g-f，则F在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F是[a,b]上可积.对[a,b]上任何分割T，取每个△i上的介点ξi，使F(ξi)=0，就有iix△)f(ξ=0，∴baF=in1ii0Tx△)F(ξlim=0.又对任意T，和每个△i上的任意一点ξi’，有iix△)ξg(=iiix△)]ξf(-)ξ[g(+iix△)ξf(=iix△)ξF(+iix△)ξf(.由F,f在[a,b]上可积，令║T║→0，等式右边两式极限都存在，∴等式左边的极限也存在，即g在[a,b]上可积，且bag=baF+baf=baf.4、设f在[a,b]上有界，{an}⊂[a,b]，nliman=c.证明：若f在[a,b]上只有an(n=1,2,…)为其间断点，则f在[a,b]上可积.证：设c∈(a,b)，f在[a,b]上的振幅为ω，任给ε0(4ωεmin{c-a,b-c})，由nliman=c知存在N，使得nN时，an∈U(c,4ωε)，从而在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T’,T”使得Tiix△ω4ε,Tiix△ω4ε.记T为T’,T”的所有分点并添上点c-4ωε,c+4ωε作为[a,b]上的分割，则Tiix△ω≤Tiix△ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+Tiix△ω4ε+2ε+4ε=ε.得证。5、证明：若f在区间△上有界，则xsupf(x)-xinff(x)=x,xsup|f(x’)-f(x”)|.证：可设f区间△上的振幅为ω，根据定义，有ω=xsupf(x)-xinff(x)，ω=x,xsup|f(x’)-f(x”)|，∴xsupf(x)-xinff(x)=x,xsup|f(x’)-f(x”)|.