习题解答-现控理论-第2章

习题解答2-12-22-32-42-52-62-72-82-92-102-112-122-132-142-152-162-172-1822-1如题图2-1所示为RLC电路网络,其中()iUt为输入电压,安培表的指示电流)(tio为输出量。试列写状态空间模型。题图2-1解:(1)根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.()()()1()()()()()iLCLCRCCdUtLitUtdtditititCUtUtdtR(2)在这个电路中,只要给定了储能R元件电感L和电容C上的iL和UC的初始值,以及tt0时刻后的输入量Ui(t),则电路中各部分的电压、电流在tt0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,iL和UC可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选iL和为UC状态变量,即x1(t)=iL,x2(t)=uC(3)将状态变量代入电压电流的关系式,有122121111idxxUdtLLdxxxdtCRC经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程11i22110110xxLULxxCRC(4)列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,1221110CxyUxxRRR(5)将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式311i221211011010xxLULxxCRCxyxR42-2如题图2-2所示为RLC电路网络,其中1()vt为输入电压,2()vt为输出电压。试列写状态空间模型。题图2-2解:(1)根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.1121ddddddddCLLCCCLuiLRiCuttuuuRCRiCtt(2)选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题x1(t)=iL,x2(t)=uC(3)将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程121121211122112121()()10()()RRRRRLRRLxxuLxxRRRCRRC(4)列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,11212111221212dd()()CLxuRRRyuRiCRxCxxtRRRR(5)将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式121121211122112121121212121()()10()()()()RRRRRLRRLxxuLxxRRRCRRCxRRRyxRRRR52-3设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。u和y为分别为小车和质量体的位移,k、b和m分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。试建立u为输入,y为输出的状态空间模型。题图2-3解：下面推导安装在小车上的弹簧－质量－阻尼器系统的数学模型。假设0t时小车静止不动,并且安装在小车上面的弹簧－质量－阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。在这个系统中,()ut是小车的位移,并且是系统的输入量。当0t时,小车以定常速度运动,即u常量。质量的位移()yt为输出量（该位移是相对于地面的位移）。在此系统中,m表示质量,b表示黏性摩擦系数,k表示弹簧刚度。假设阻尼器的摩擦力与yu成正比,并且假设弹簧为线性弹簧,即弹簧力与yu成正比。对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为：maF式中,m为质量,a为质量加速度,F为沿着加速度a的方向并作用在该质量上的外力之和。对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到：22()dydydumbkyudtdtdt即：22dydydumbkybkudtdtdt这个方程就是该系统的数学模型。对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得到：)()()()(2sUkbssYkbsms取)()(sUsY与之比,求得系统的传递函数为：2()()()YsbskGsUsmsbsk下面我们来求这个系统的状态空间模型。首先将该系统的微分方程bkbkyyyuummmm与下列标准形式比较：61212oyayaybububu得到：1bam,2kam,0ob,1bbm,2kbm即而得到：00111022211200bbbamkbbaamm并定义：102111xyuybxxuxum可得到：1212222112212bxxuxumkbkbxaxaxuxxummmm输出方程为：1yx即：11222120110bxxmukbxxkbmmmmxyx72-4题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。其中,m为登月舱质量,g为月球表面重力常数,mk项为反向推力,k为常数,y为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。现指定状态变量组mxyxyx321,和,输入变量mu,试列出系统的状态方程。题图2-4解：本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的）,可被取为状态变量组mxyxyx321,和。基此,利用力学定律并考虑到输入变量mu,先来导出1223333xyxkgmgkxymxummxxxmu在将此方程组表为向量方程,就得到系统的状态方程：100000001033321321xkxgxxxxxx且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。82-5某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图2-5所示,其中电动机轴上的负载为阻尼摩擦,其摩擦系数为f;电动机轴上的转动惯量为J。设输入为电枢电压ua和激磁电压uf,输出为电机转角θ,试列出系统的状态空间模型。题图2-5解设电动机的铁芯工作在非饱和区。分析题图2-5所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为22ddddddaaaafffffuRiEiuRiLtMJftt式中,Ea和M分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩,且ddddaeefECkitt,mamfaMCikii式中,Ce和Cm分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；为磁场的磁通量，其正比于励磁回路电流if；ke和km分别为比例常数。因此,主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为22ddddddddaaaeffffffmfauRikitiuRiLtkiiJftt(2-13)对于上述微分方程组,若已知电枢电流if(t)、角位移θ(t)及其导数tt/d)(d在初始时刻t0的值,以及电枢电压ua和励磁回路电压uf,则方程组有惟一解。因此,可以选择状态变量为123d()()(),()(),()dftxtitxttxtt因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为9112313313131---ffffmmaeaaRxxuLLxxkkukxxffxxixxxJJJRJ输出方程为y=θ=x2由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为112323113321--ffffmmeaaaRxxuLLxxkkkfxuxxxxJRJRJyx102-6题图2-6为一化学反应器,它是一个均匀、连续流动单元,其中发生如下反应速率常数为k的一级吸热反应Ak→B该化工反应生产过程为:温度为常量θf,含A物质浓度为常量CAf的料液以Q(t)的流量进入反应器;假定流出的液体的流量也为Q(t),保持单元内液体体积为V;为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q(t)。试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度θ(t)和物质B的浓度CB(t)为输出,建立状态空间模型。题图2-6参见2.2小节例题112-7.将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。(1)2635yyyyu(2)23yyuu(3)45222yyyyuuuu解(1)由所求的系统输入输出方程,有a1=2,a2=6,a3=3,b=5当选择输出y及其1阶、2阶导数为状态变量时,可得状态空间模型为010000103625[100]xxuyx(2)先将方程变换成y的首项的系数为1,对方程两边除以2，得311222yyuu由所求的系统输入输出方程,有a1=0,a2=0,a3=-3/2,b0=1/2,b1=0,b2=0,b3=-1/2,故由式(2-17)可得001110221120331221301/2001/4bbabaabaaa因此,当选择状态变量102103210121212xyuyuxyuuyuxyuuuyu时,可写出状态空间模型为12010000103/2001/41[100]2uxxuyx(3)由所求的系统输入输出方程,有a1=4,a2=5,a3=2,b0=2,b1=1,b2=1,b3=2,故由式(2-17)可得00111022112033122130271943bbabaabaaa因此,当选择状态变量1021032102721972xyuyuxyuuyuuxyuuuyuuu时,可写出状态空间模型为01070011925443[100]2uxxuyx132-8将下列传递函数转换为状态空间模型(1)23221840()6116ssGssss(2)2221()56ssGsss(3)23(5)()(3)(1)sGsss解(1)由系统特征多项式611623sss,可求得系统的极点为s1=-1,s2=-2,s3=-3于是有332211)(ssksskssksG其中,112233[()(1)]12[()(2)]12[()(3)]2ssskGsskGsskGss故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为100102010031[12122]xxuyx(2)对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下2222135()11()5656sssGsGsssss由系统特征多项式256ss,可求得系统的极点为s1=-2,s2=-3于是有1212()1kkGsssss其中,1223[()(2)]1[()(3)]4sskGsskGss故当