微积分的历史

微积分的历史一、微积分的创立微积分的创立是为了解决四大问题1.已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。困难在于，十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化，计算瞬时速度时，在给定的瞬时时间里，移动的距离和所用的时间都是零，而0/0是没有意义的。2.求曲线的切线和定义切线例如在研究光通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射定律，重要的角是光线同曲线的法线间的夹角，这就需要知道曲线的切线。3.求函数的最大值和最小值研究炮弹从各个角度发射后所达到的不同的最大高度，研究行星的运动也涉及最大值和最小值的问题。4.求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个物体作用于另一个物体上的引力古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，当Archimedes的工作在欧洲文明时，求长度面积体积和重心的兴趣复兴了，穷竭法被逐渐的修改，后来由于微积分的创立而被根本的修改了二、17世纪初期的微积分工作1.求曲线的切线古希腊人把切线定义为接触曲线于一点的直线。1634年Roberwal针对炮弹发射问题认为曲线是一个动点在两个速度作用下运动的轨迹，应用Galileo的法则：水平的和垂直的速度是彼此独立地运用着的。Torricelli应用Roberwal的方法，求得了曲线Y=xn的切线。1629年Fermat依赖深奥的极限理论利用几何相似的原理，通过求次切线做出切线的位置。Descartes希望利用切线获得曲线的性质——例如两条曲线相交的角度。他的方法是纯代数的，不涉及极限概念。但他的办法仅对Y=f（x）（其中f（x）是简单的多项式）的曲线有用。Barrow利用所谓的微分三角形或者特征三角形判定切线的斜率。2.求函数最大值最小值Kepler最酒桶的性状产生兴趣，他证明在所有内接与球面的，具有正方形底的正平行六面体中，立方体的容积最大，在证明过程中，他注意到，当越来越接近最大体积时，对应于一个尺寸的固定的变化，体积的变化越来越小。Fermat认为当函数经过一个极大值或极小值时，函数的前后两个值将是相等的，将这两个值等同起来，解方程，然后确定函数取最大值或最小值时的X值。他在这里也用到了极限理论。3.求面积体积重心和曲线长的问题开始于Kepler，他认为酒商用来求酒桶体积的方法不准确，开展了对体积的研究。他认为圆的面积是无穷多个三角形的面积，每个三角形的顶点在圆心，底在圆周上。类似的，他认为球的面积是无数个小圆锥的体积的和，再把圆锥看成是非常薄的圆盘的和，由此算出它的体积。在Archimedes的启发下，他又把面积旋转成新的图形，并用来计算体积。Kepler思想的精华，是用无数个同维的无穷小元素之和来确定曲变形面积和体积。在一些问题中，他的确认为面积就是直线的和。Galileo对于面积的想法和Kepler的想法相似，在处理匀加速问题是，他证明了时间-速度曲线下的面积就是距离。Cavalieri在前两者的影响下，考察了微积分问题，并把不可分量方法的思想发展成几何方法。他认为面积是无数个等距平行线段构成的，体积是无数个平行的平面面积构成的，他把这些元素叫做面积和体积的不可分量。Cavalieri定理说：如果两个立体有相等的高，而且它们的平行与地面并且离开底面有相等的距离的截面面积总有一定的比的话，那么这两个立体的体积之间也有这个比。从而他证明了圆锥的体积是外接圆柱的三分之一。Stewin于1586年提出当把函数y=x2成无数个小矩形时，矩形的数目成为无穷大，可以通过取极限求出面积。Wallis被称作那个世纪仅次于Newton的最能干的英国数学家，他在分析地计算圆面积时，得到了π的新表达式。Gregory的学生Sarasa是第一个注意到面积能解释成对数的人。