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6.4多边形的内角和与外角和第六章平行四边形八年级数学·下新课标[北师]学习新知检测反馈第1课时多边形的内角和法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合,创造了这个“abeillesbeepavilion”.导入新课情景引入思考:你知道正六边形的内角和是多少吗?问题2你知道长方形和正方形的内角和是多少度?问题1三角形内角和是多少度?三角形内角和是180°都是360°问题3猜想任意四边形的内角和是多少度?讲授新课多边形的内角和一猜想:四边形ABCD的内角和是360°.问题4你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗?猜想与证明方法1:如图,连接AC,四边形被分为两个三角形,所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCDABCDE方法2:如图,在BC边上任取一点E,连接AE,DE,所以该四边形被分成三个三角形,所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.方法3:如图,在四边形ABCD内部取一点E,连接AE,BE,CE,DE,把四边形分成四个三角形:△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四边形ABCD内角和为:180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.ABCDEABCDP方法4:如图,在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3-180°=360°.这四种方法都运用了转化思想,把四边形分割成三角形,转化到已经学了的三角形内角和求解.结论:四边形的内角和为360°例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?试说明理由.解:如图,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°∵∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°∴ABCD如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.典例精析ACDEBABCDEF问题5你能仿照求四边形内角和的方法,选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°内角和为180°×4=720°n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数······0n-31231234n-2(n-2)·180º1×180º=180º2×180º=360º3×180º=540º4×180º=720º························由特殊到一般分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想总结归纳多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)·180°例2一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°,并且这个多边形的各内角都相等,这个多边形的每个内角是多少度?解:设这个多边形边数为n,则(n-2)•180=360+720解得n=8∴(8-2)×180°=1080°∵这个多边形的每个内角都相等∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°典例精析问题6:①正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度?②正n边形的内角是多少度?想一想正多边形边数内角34568n60°90°120°(2)180nn108°135°小彬求出一个正多边形的一个内角为145°.他的计算正确吗?如果正确,他求的是正几边形的内角?如果不正确,请说明理由.随堂练习P154解:不正确.理由:设该正多边形的边数为n,如果结果正确,应有145n=180(n-2)解方程得n=,不符合题意.772剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流.议一议解:剪的位置不同,剩下的多边形的形状也就不同,多边形的内角和也就不同.对于这样的问题应当进行分类讨论剪下一个角后,分以下几种情况:(1)纸片剩下5个角,得到的五边形的内角和为(5-2)x180°=540°(2)纸片剩下4个角,得到的四边形的内角和为(4-2)x180°=360°(3)纸片剩下3个角,得到的三角形的内角和为180°一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后,求得到的多边形的内角和.解:∵1800÷180=10∴原多边形边数为10+2=12∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1∴新多边形的边数可能是11,12,13∴新多边形的内角和可能是1620°,1800°,1980°.思维升华多边形的内角和内角和计算公式(n-2)×180°(n≥3的整数)正多边形内角=(2)180nn课堂小结,畅谈收获:习题6.7第1、2题1.一个正多边形的内角和为720°,则这个正多边形的每一个内角等于______.120°检测反馈2.一个多边形的内角和不可能是()A.1800°B.540°C.720°D.810°D3.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形内角和等于()A.360°B.540°C.720°D.900°C4.如图,在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,若BE∥DF,求证:△DCF为直角三角形.证明:∵在四边形ABCD中,∠A与∠C互补∴∠ABC+∠ADC=180°∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC∴∠CDF+∠EBF=90°∵BE∥DF∴∠EBF=∠CFD∴∠CDF+∠CFD=90°故△DCF为直角三角形运用了整体思想5.如图,在五边形ABCDE中,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度数.可运用了整体思想解:∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°∵AP平分∠EAB∴∠PAB=∠EAB同理可得∠ABP=∠ABC∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°121212126.如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,求∠BED的度数.解:由题意得AB=AE,所以∠AEB=(180°-∠A)=36°所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°°°52180=1085AAED∠∠,12能力提升:如图,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.解:∵∠3+∠4=∠8+∠9∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7=五边形的内角和=540°89
本文标题:6.4-多边形的内角和与外角和(第1课时)
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