一看就懂的小波变换

一看就懂的小波变换设有信号f(t):其傅里叶变换为F(jΩ):1()()2jtftFjed即：=++024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Ψ（t）1/2Ψ（2t-t0）2/3Ψ（4t-t1）像Ψ(t)这样，有限长且均值为0的函数称为小波函数。常用的小波函数如下图：小波函数必须满足以下两个条件的函数：(1)小波必须是振荡的；(2)小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如：图1小波例1图2小波例2不是小波的例子图4图3平均与细节设一维信号{x1，x2}平均细节则一维信号可以表示成{a，d},且原信号可以恢复如下：当x1与x2非常接近时，一维信号{x1，x2}可近似的用{a}表示，可实现信号压缩。a可以看成信号的整体信息d可看成原信号用a表示时丢失的细节信息)/2x(xa21)/2x-(xd21dax1d-ax2平均与细节对多元素信号{x1，x2，x3，x4}2/)(210,1xxa2/)(431,1xxa2/)(210,1xxd2/)(431,1xxd信号可以表示为：{a1,0,a1,1,d1,0,d1,1}丢失细节信号压缩为：{a1,0,a1,1}2/)(1,10,10,0aaa2/)(1,10,10,0aad信号可进一步表示为：{a0,0,d0,0}丢失细节信号压缩为：{a0,0}4/)(43210,0xxxxa平均与细节{x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息{a1,0,a1,1}－次高分辨率低频信息{d1,0,d1,1}－次高分辨率细节信息{a0,0}－最低分辨率低频信息{d0,0}－最低分辨率细节信息{x1，x2，x3，x4}的小波变换{a0,0,d0,0,d1,0,d1,1}由整体平均和两个不同分辨率的细节信息构成金字塔算法一维信号{3,1,-2,4}的小波变换为{1.5,0.5,1,-3}{1.5}：最低分辨率低频信息{0.5}：最低分辨率细节信息{2,1}：次高分辨率低频信息{1,-3}：次高分辨率细节信息{3,1,-2,4}：最高分辨率信息尺度函数与小波函数信号序列{x1，x2，x3，x4}看成单位区间上的一个函数)()()()()()1,4/3[4)4/3,2/1[3)2/1,4/1[2)4/1,0[1tXxtXxtXxtXxtf)4/1()()4/1,0[)2/1,4/1[tXtX)2/1()()4/1,0[)4/3,2/1[tXtX)4/3()()4/1,0[)1,4/3[tXtX)2()(2)1,0[)4/1,0[tXtX平移伸缩引入记号：)()()1,0[tXt定义：)2()(,kttjkj12,,1,0jk可得：)(0,0t01)2(0,1t2/10t其它01)12(1,1t其它12/1t)()()()()(3,242,231,220,21txtxtxtxtf函数可以由一个尺度函数的伸缩与平移的线性组合表示2/10t同理，对小波变换011)()()()1,2/1[)2/1,0[tXtXt其它12/1t伸缩和平移序列的多分辨率表示：)()()()()(1,11,10,10,10,00,00,00,0tdtdtdtatf4×4图像的二维Harr小波变换3695217683544321行小波变换5.125.475.05.05.15.65.05.05.55.45.05.05.35.1115.05.15.1025.15.05.1135.425.05.175.63列小波变换左上角二维小波变换115.05.15.1025.15.05.1175.075.325.05.185.185.41.1一维小波变换（一维多尺度分析）设有L2(R)空间的子空间序列：210VVVVj的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数(x)经伸缩平移得到的kxxjjk2设Wj是Vj相对于Vj+1的正交补空间，Wj的正交基函数是由一个称为小波函数的函数(x)经伸缩平移得到的kxxjjk2)12()2()(tttxxjkjk,构成Vj+1的正交基。xx和满足下列关系式(二尺度方程)：nlnhnhnlnxnhxnxnlxnZnZn112222＝且称为高通滤波器。称为低通滤波器，其中信号的多尺度分解：算法一维计算：称为小波系数，它们的称为尺度系数，MALLATknhddknlccdcxdxcnxcxfZnjkjkZnjkjkjkjkJjkJkjkkJkJkZnn221110求得小波系数的算式就是小波正变换。,(,)()()fabWabfxxdx该式也可以理解为f(x)和Ψa,b(x)内积，小波系数表示二者的相似程度，或f(x)中含有Ψa,b(x)成分的多少。小波系数有a和b两个自变量，分别代表不同的尺度（时间）和频率，所以小波分析属于时频分析。Haar小波（1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8）（1/8,1/8,1/8,1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8）（1/4,1/4,-1/4,-1/4,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/4,1/4,-1/4,-1/4）（1/2,-1/2,0,0,0,0,0,0）（0,0,1/2,-1/2,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/2,-1/2,0,0）（0,0,0,0,0,0,1/2,-1/2）连续Haar小波对应的离散Haar小波离散小波变换离散小波变换就是做向量的内积。例：对（64，2，3，61，60，6，7，57）做Haar小波变换1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/81/8,1/8,1/8,1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/81/4,1/4,-1/4,-1/4,0,0,0,00,0,0,0,1/4,1/4,-1/4,-1/41/2,-1/2,0,0,0,0,0,00,0,1/2,-1/2,0,0,0,00,0,0,0,1/2,-1/2,0,00,0,0,0,0,0,1/2,-1/26432.52030.5610.560316297275725Haar小波变换第二种做法：[64,2,3,61,60,6,7,57]64+23+6160+67+5764-23-6160-67-57[33(),32(),33(),32(),31(),-29(),27(),-25()]2222222264+2+3+6160+6+7+5764+2-3-6160+6-7-57[32.5(),32.5(),0.5(),0.5(),31,-29,27,-25]444464+2+3+61+60+6+7+5764+2+3+61-60-6-7-57[32.5(),0(),0.5,0.5,31,-29,27,-25]88[32.5,0,0.5,0.5,31,-29,27,-25]111010001110-100011-10010011-100-1001-101032.500.50.5010311-10100-10291-10-10001271-10-1000-125642361606757Haar小波反变换：[32.5,0,0.5,0.5,31,-29,27,-25][32.5(32.5+0),32.5(32.5-0),0.5,0.5,31,-29,27,-25][33(35.2+0.5),32(32.5-0.5),33(32.5+0.5),32(32.5-0.5),31,-29,27,-25][64(33+31),2(33-31),3(32-29),61(32+29),60(33+27),6(33-27),7(32-25),57(32+25)]Haar小波反变换第二种做法：1.2二维小波变换（二维多尺度分析）二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量积得到，即：yxyxyxyxyxyxyxyxHHHLLHLL,;,;,;,图像的二维小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)滤波和2-下采样，如图所示：图5图像滤波采样说明：如图所示，首先对原图像I(x,y)沿行向(水平方向)进行滤波和2-1下采样，得到系数矩阵IL(x,y)和IH(x,y)，然后再对IL(x,y)和IH(x,y)分别沿列向(垂直方向)滤波和2-1下采样，最后得到一层小波分解的4个子图：ILL(x,y)—I(x,y)的（粗）逼近子图IHL(x,y)—I(x,y)的水平方向细节子图ILH(x,y)—I(x,y)的垂直方向细节子图IHH(x,y)—I(x,y)的对角线方向细节子图二维金字塔分解算法令I(x,y)表示大小为MN的原始图像，l(i)表示相对于分析小波的低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1，Nl表示滤波器L的支撑长度；h(i)表示相对于分析小波的高通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nh-1，Nh表示滤波器H的支撑长度，则1,,1,0;12,,1,0,mod21,,mod21,1010NyMxyMjxIjhNyxIyMixIilNyxIhlNjhHNilL12,,1,0;12,,1,0mod2,1,mod2,1,mod2,1,mod2,1,10101010NyMxNjxxIjhNyxINixxIilNyxINjxxIjhNyxINixxIilNyxIhlhlNjHhHHNiHlHLNjLhLHNiLlLL对逼近子图重复此过程，直到确定的分解水平，下图是二层小波分解的示意图。图6图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解图像的小波特征提取首先对输入图像做J层二维小波分解；因为小波变换具有很好的时频局部化特性，所以可以将图像的不同底层特征变换为不同的小波系数；输入图像经过经一层小波分解后，被分成4个子图：LL1—逼近子图，它代表输入图像水平和垂直两个方向的低频成分；HL1—细节子图，它代表输入图像水平方向的高频成分和垂直方向的低频成分；LH1—细节子图，它代表输入图像水平方向的低频成分和垂直方向的高频成分；HH1—细节子图，它代表输入图像水平和垂直方向高频成分。在逼近子图LL1上重复二维小波分解过程，进行二层小波分解，如此继续分解，得到子图序列{LLJ，[HLk，LHk，HHk](k=1,2,…,J)}。小波基与分解层次的选取是非常重要的，目前还没有一个统一的标准。I(x,y)[128128]I1(x,y)[6464]I1H(x,y)[6464]