2011年上学期拓扑学考试试卷及答案

大学拓扑学考试试卷参考答案（A）一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分，共15分)1、1、已知{,,,,}Xabcde,下列集族中，（）是X上的拓扑.A.{,,{},{,},{,,}}XaabaceTB.{,,{,,},{,,},{,,,}}XabcabdabceTC.{,,{},{,}}XaabTD.{,,{},{},{},{},{}}XabcdeT2、设{,,,}Xabcd，拓扑{,,{},{,,}}XabcdT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）A.1B.2C.3D.43、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（）A.B.ZC.R-ZD.R4、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（）A.若A,则dAB.若0{}Ax,则dAXC.若A={12,xx},则dAXAD.若12{,}Axx,则dAA5、平庸空间的任一非空真子集为()A.开集B.闭集C.既开又闭D.非开非闭二、简答题（每题3分，共15分）1、2A空间2、1T空间：3、不连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（）2、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（）3、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则dA（）4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集()四、证明题（共50分）1、设,,XYZ都是拓扑空间.:fXY,:gYZ都是连续映射，试证明:gfXZ也是连续映射。(10分)2、设:fXY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则()fX是Y的一个连通子集.(10分)3、设X是Hausdorff空间，:fXX是连续映射.证明{|()}AxXfxx是X的闭子集.(10分)4、设X为非空集合，令|,CAAXC余可数其中为至多可数集T试证：(1),X余可数T是一个拓扑空间；(5分)(2)若X不可数，,X余可数T是连通空间；(5分)(3)X,余可数T为1T但非2T空间；(5分)(4),X余可数T是Lindelӧff空间(提示：即证X的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分)大学拓扑学考试试卷参考答案（A）注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分，共15分)1、C2、B3、A4、A5、D二、简答题（每题3分，共15分）1、2A空间答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为2A空间.2、1T空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是1T空间.3、不连通空间答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集,AB,使得ABX,则称X是一个不连通空间.4、序列紧致空间答案：设X是一个拓扑空间.如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是一个序列紧致空间.5、正规空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（）答案:√理由：设:fXY是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有,Y,易知它们在f下的原象分别是,X,均为X中的开集，从而:fXY连续.2、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（）答案：√理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基，对于每一个xX,易知{}BB|xBxB是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族，从而X在点x处有可数邻域基，故X满足第一可数性公理.3、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则dA（）答案：×理由：设{}Ay,则对于任意,xXxy,x有唯一的一个邻域X，且有()yXAx,从而()XAx，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有()XAy,所以有dAXA.4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.()答案：√理由：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，则对于任何xX，若xA，则易知x不是A的凝聚点，因此AA，从而A是一个闭集.四、证明题（共50分）1、证：设W是Z的任意一个开集，由于:gYZ是一个连续映射，从而1()gW是Y的一个开集，由:fXY是连续映射，故11(())fgW是X的一开集，因此111()()(())gfWfgW是X的开集，所以:gfXZ是连续映射.2、证明：如果()fX是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集,AB使得()fXAB,于是11(),()fAfB是X的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())fAfBfBfAfAfBfBfAfABAB所以11(),()fAfB是X的非空隔离子集此外，1111()()()(())fAfBfABffXX，这说明X不连通，矛盾.从而()fX是Y的一个连通子集.3、证明：对于cxA，则()fxx，从而(),fxx有互不相交的开邻域U和V，设1()WfUV，则W是x的开邻域，且cxWA,故cA是开集，从而A是闭集.4、证明：(1)001212121211221212121201.212,,3,,,XXAAAAAAAAAXCAXCCCdeMorganAAXCXCXCCAAXCC余可数余可数余可数余可数余可数余可数余可数由的定义，.此外，设，，或，则，，则其中，为至多可数集.根据公式，有设不失一般性，令其中为至多可数集，则TTTTTTT000123AXCXCX余可数余可数由可知，为上的一个拓扑。TT(2)注意1212XCXCXCC；(3)对任意,,pqXpq，则XpUq＝－与qUXp分别为p与q的开邻域，且pqU，qpU，因此，,X余可数T为1T空间。设pU为p的任何开邻域，qU为q的任何开邻域，则12X,pqUCUXC＝－，其中1C，2C均为X的至多可数子集，并且1212pqUUXCXCXCC所以，,X余可数T非2T空间。(4)设A是X的任一个开覆盖，任取0AA，0A，则0AXC(C为X的至多可数集),记1{,...,,...}nCcc，因A是X的开覆盖，故,iAA..st,iicAiN于是，1{|0,1,...,,...}iAinAA是X的至多可数开覆盖，从而,X余可数T是Lindelӧff空间.