论文标题浅谈初中几何中添加辅助线的技巧

论文标题：浅谈初中几何中添加辅助线的技巧作者：邝淑莹单位：三水中学附属初中日期：2012-8-25联系电话：[phone]浅谈初中几何中添加辅助线的技巧三水中学附属初中数学科组邝淑莹摘要：在初中数学的学习中，平面几何无疑占据着十分重要的地位，而且对于必须添置辅助线才能解决的题目,学生往往是无处下手,甚至是“胡思乱添”,达不到解题的目的。因此,学生普遍对较为综合的几何问题望而生畏。其实纵使几何题千变万化，添加辅助线的方法各有不同，表面看如何添加线无章无循、无法可依。其实并非如此，无论什么样的几何题必存有图形和条件(包括隐含条件)这两方面。因而我们可以据图形的特殊性添加辅助线；据条件的特殊性添加辅助线；还可以两者兼顾添加辅助线，本文通过以下几种不同类型的FABCEMDN几何题谈谈添加辅助线解证几何题的一些技巧。关键词：添加，辅助线，构造，基本图形在平面几何证明题中，添加辅助线是解题的关键，添加辅助线是沟通命题“条件”和“结论”的桥，辅助线的添置因题而异，变化万千，虽无一个通法可以遵循，但还是有一定的规律和常用的方法。只要我们知道添加辅助线其实就是为了“补图”，在不完整的图中构造出基本的几何图形（如三角形、平行四边形、圆、两个全等三角形、两个相似三角形等），就可以利用它们的性质、定理创造出有利的条件，从而使题目得以证明。当然，至于构造哪种基本图形，这就必须充分分析已知条件和所求证结论的关系了，要想方设法把它们放在同一个基本图形之中。只有具体怎样添加辅助线，这由以下三方面决定：⑴由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。⑵由所求决定：问什么，先要作什么。⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。根据平时的教学实践，我通过以下几种不同类型的几何题分别就这方面谈谈添加辅助线的技巧和规律。一、证明线段相等例1：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，BD＝CE，DE交BC于F,试说明DF=EF。分析：证明线段相等的基本思路是证明线段所在的三角形全等，若不能在图中直接找出来，那就应该通过添加辅助线构造出两个全等的三角形。证法1：过D作AE的平行线交BC于点N∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵DN//AE∴∠BND=∠ACB,∠NDF=∠FEC∵∠BND=∠ACB∴∠BND=∠ABC∴BD=ND∵BD=CE∴ND=CE在△NDF与△CEF中∵∠NDF=∠FEC,∠NFD=∠CFE,ND=CE∴△NDF≌△CEF（AAS）∴DF=EF证法2：过E作AB的平行线交BC的延长线于点M，只要证明△BDF≌△MEF即可。技巧总结：证明线段相等是初中几何中比较常见和重要的题型，而它的常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等，如果这样的两个三角形已经出现在图中，这种题目很多学生都掌握得不错。但本题中的DF与EF所在的△BDF与△CEF很明显并不全等，那么接下来如何证明呢？此时不少学生就会束手无策，头脑空白，其实经过简单的分析之后，我们不难知道要添加辅助线才能解决，接下来我们要思考的应该是如何添加辅助线。我们的最终的目的是证三角形全等，既然已知的图中没有一对全等的三角形，那么我们为什么不可以通过添加辅助线构造全等的三角形呢？如果要构造全等三角形，前提就要构造出相等的角或边，再根据题意，这是一个等腰三角形，根据它的性质，可以过一点作腰的平行线，从而得到一个新的等腰三角形，这样自然就出现相等的角或边了。由此可见，要想熟练掌握添加辅助线的技巧，必须对基本图形的性质十分熟悉，平时还要多总结规律：遇到等腰三角形，通常可以作腰的平行线，这样会创造出很多有用的条件的。二、证明线段和差之间的等量关系例2：如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，且交于点O,求证：AC=AE+CD分析：要证AC=AE+CD，在AC上截取AF=AE，再证CD=CF。根据△ABC中，∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°。因为AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可求出∠AOC=120°，∠AOE=60°，连接OF，易证△AOE≌△AOF，∠AOE=EABCNMDFGH∠AOF=60°，可证△COD≌△COF，则CD=CF，问题得证。证明：在AC上截取AF=AE，连接OF。在△ABC中，∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°．∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=1/2∠BAC，∠OCD=∠OCA=1/2∠ACB，在△OAC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-1/2（∠BAC+∠ACB）=180°-1/2×120°=120°．∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°．在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF，∴∠AOF=60°．∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°．又∠COD=60°，∴∠COD=∠COF．在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF，∴△COD≌△COF（ASA），∴CD=CF．又∵AF=AE，∴AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC．技巧总结：证明线段和差之间的等量关系也是初中几何中比较常见的题型，由于要证明的三条线段AC、AE、CD都不在同一直线上，不少学生对此都是摸不着头脑的，根本不知道从何入手。导致这样的原因，其实归根到底就是很多学生平时做完习题后不善于总结解题的规律和方法。对于这种题型，我们应该从要证明等量关系的这三条线段是否共线入手，如果是共线，那就非常简单，不用在这里多说，但我们遇到的题目往往是不共线，那怎么办呢？在这里常用的方法是通过等量代换，将这三条线段转化到同一直线上，采用“截长补短”的方法即可证明。结合例2，我们来看看是如何想到这样添加辅助线的，这是最关键的一步。AC、AE、CD这三条线段中，AC最长，AE、CD稍短，而题目要证明AC=AE+CD，这时我们很自然会想到将长边AC截成两段较短的边AF、CF，接着只要证明较短的两边分别与AE、CD相等即可。这时不妨先在AC上截取AF=AE，接着只需证明CD=CF即可，换句话来说就是先设定好一对等量关系，再利用这对等量关系去推理创造出更多的有利条件，用以证明剩下的一对等量关系。如何证明CD=CF呢？证明线段相等，很自然想到用例1讲到的方法：构造全等三角形来证明，怎么构造呢？这时很容易会想到连接OF了。这种“截长补短”的方法在这种类型的证明题中是经常用到的方法，我们平时应该多总结和体会。三、证明线段成比例例3：已知：如图，过△ABC的顶点C任作一条直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。求证：AE：ED=2AF：FB。分析：要证明线段成比例，通常用到相似三角形对应边成比例这个性质，但结合题意并没有出现相似的条件，故无法证明，这时容易想到通过添加辅助线来构造所需的条件，如何添加？我们不难会想到可以通过引平行线构造相似三角形的基本图形“A”“X”型。证法1：过D作DG∥CF，交AB于点G，则△AEF∽△DDG,△BDG∽△BCF∴AE:ED=AF:FG,BG:BF=BD:BC∵点D是BC的中点∴BD:BC=1:2∴BG:BF=BD:BC=1:2DABCEF∴FG=BF/2∴AE:ED=AF:（BF/2）∴AE:ED=2AF:FB证法2：过点B作BN∥CF交AD的延长线于点N,则△AEF∽△ANB,△BDN∽△CDE,∴AE:EN=AF:FB,BD:CD=ND:DE∵点D是BC的中点∴BD:CD=1:1∴ND:DE=BD:CD=1:1∴EN=2ED∴AE:EN=AE:2ED=AF:FB∴AE:ED=2AF:FB证法3：过点B作BM∥AD交CF的延长线于点M,则△AEF∽△BMF（“X”型）,△CED∽△CMB（“A”型）证明略证法4：过点D作DH∥AB交CF的于点M,则△DHE∽△AFE（“X”型）,△CHD∽△CFB（“A”型）证明略技巧总结：对于证明线段成比例这种类型题目，学生往往感觉比较迷惘，不知所措，原因是要证明成比例的线段往往不是已知的两个相似三角形的对应边，或者它们只是两个表面上完全没有关系的三角形的边，甚至它们不是三角形的边，就像本例子：要证明的四条边AE、ED、AF、FB不是两个相似三角形的边，如果只用此图根本无法证明，所以我们应该想到必须添加辅助线构造出相似三角形，又由于“A”“X”型是最基本和最常见的相似三角形的基本图形，故容易想到引平行线构造这两种基本图形。那如何引平行线？过哪一点引？这也不是随便引的，我们必须结合题意想清楚，题目中出现了一个重要条件：点D是BC的重点，这是一个特殊点，可以过这一点引平行线。也可以过已知（或求证）中线段的端点引平行线。另外，我们需要时刻提醒自己最终要证明的是什么（本例是AE、ED、AF、FB这四边的关系），所以引平行线时应尽量使这些求证的线段和已知线段成比例（即把这些线段放在相似的三角形中，最好能够放在一对相似三角形之中，如果不够条件的话，可以放在有公共边的两对相似三角形之中，最后通过一些等量关系也可以得出答案）。对于这些技巧和方法，我们可以在平时的练习中多加总结和归纳即可，只要掌握好这些技巧，不难会想出不止一种的证明方法。四、一般四边形的求解问题例4：如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠ABC=90°，AD=3，BC=33，BD=7。求：（1）CD的长（2）AB的长。分析：对于一般的四边形，它不具有特殊的性质，所以如果直接求解，当然是无法解决的。但此时经过对题目的分析，由于已知条件中出现了120°、90°角和一些线段的长度，所以利用这些条件将原四边形转化为矩形和特殊的三角形可使问题得到解决。解：(1)过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于F，∵∠ABC=90°∴四边形EBFD为矩形∴ED=BF,EB=DF∵∠BAD=120°∴∠DAE=60°，∠ADE=30°∴AE=1/2AD=1.5，DE=3AE=（33）/2=BF∴FC=BC-BF=33-（33）/2=（33）/2∴DF是BC的中垂线∴CD=BD=7bamnBCDEFA(2)∵在Rt△BDF中，DF=22BDBF=22733/2（）=13/2=6.5∴AB=BE-AE=6.5-1.5=5技巧总结：本题是求线段的长度，如果这些线段在某些特殊的图形中，如三角形、矩形、菱形等，那么这比较容易求解，我们可以利用这些特殊图形具有的一些特殊性质来求。但对于本题，这只是一个一般的四边形，它没有特殊性质，所以我们不难想到这必须通过添加辅助线，将四边形转化为三角形等一些特殊的图形。如何转化呢？这不是胡乱添加的，我们必须从题目的已知条件出发，思考如何才能用上已知条件求解。条件中出现了∠ABC=90°，不难想到过点D作DF⊥BC，此时已经出现直角三角形FDC，但左边的四边形仍只是梯形而已，无法利用AD=3，∠BAD=120°这两个条件求其它边，所以还必须添加辅助线才能解决。故我们会想到过点D作DE⊥AB，构造出矩形EBFD，而且△AED还是直角三角形，这时就可以利用直角三角形的特殊性质，求出其它的边和角了。概括起来，解决一般四边形问题的思路应该是将其转化为特殊四边形和三角形。五、从所需求证结论的形式入手思考如何添加辅助线例5：如图，平行四边形的两邻边长分别为a、b，两对角线的长分别为m、n。求证：m2+n2=2(a2+b2)。分析：仅从已知条件出发，很难想到如何添加辅助线来解决，这四条边a、b、m、n好像没有直接的关系,这时我们可以先考虑所求证的结论的形式，它与勾股定理a2+b2=c2的形式有类似的地方，故可以考虑用勾股定理解决，接着不难会想到应该添加辅助线构造直角三角形来完成证明。证明：作DE⊥AB,CF⊥AB,E、F分别为垂足∵四边形ABCD是