-实验1分治法

实验一分治法一、实验目的1．理解分治法的方法；2.掌握使用分治法解决一般问题的步骤；3.掌握分治算法求解数组的最大值和最小值的方法。二、实验原理在一个给定数组中查找最大值和最小值是一类常见的问题，也是解决其他一些算法的基础。假设给定数组为a，数组中含有n个元素，一般的算法是在数组中进行直接查找，算法伪代码如下：1.x←a[0];y←a[0]2.fori←2ton3.ifa[i]xthenx←a[i]4.ifa[i]ytheny←a[i]5.endfor6.return(x,y)上述代码在第3行和第4行涉及到元素的比较，每次循环进行2次比较，而循环的次数在算法第2行给出，为(n-2)+1=n-1次，因此，算法元素比较总次数为2(n-1)次。现在采用分治的思想，假设数组的长度为2的整数幂，将数组分割成两半，分别为a[0…(n/2)-1]和a[n/2…n-1]，在每一半中分别查找最大值和最小值，并返回这两个最小值中的最小值以及两个最大值中的最大值。假设给定数组为a，数组的下标上界和下界分别为low和high，则其算法伪代码如下：minmax(a,low,high)1.ifhigh-low=1then2.ifa[low]a[high]thenreturn(a[low],a[high])3.elsereturn(a[high],a[low])4.endif5.else6.mid←|_(low+high)/2_|7.(x1,y1)←minmax(a,low,mid)8.(x2,y2)←minmax(a,mid+1,high)9.x←min{x1,x2}10.y←max{y1,y2}11.return(x,y)12.endif代码第1行high-low=1表示数组长度为1，此时执行第2行~第4行代码直接比较数组的两个元素，选出最大值和最小值，此为函数的递归终止条件；代码第7行和第8行是两个递归调用，分别在数组的下标范围[low,mid]和[mid+1,high]查找最小值和最大值，第9行比较两个最大值取其中较大者，第10行比较两个最小值取较大者。代码的第2、9和10行涉及到元素的比较，第7、8行由于递归也产生元素比较，因此令算法总的元素比较次数为C(n)，则有22)2/(221)(nnCnnC若若对递推式进行求解22/322)2/(2)2(222...22)2/(2...248)8/(824)2)8/(2(424)4/(42)2)4/(2(22)2/(2)(11122111nnCnCnCnCnCnCnCnCkkjjkkkkk得到minmax算法的元素比较总次数为3n/2-2，优于直接比较的性能。三、实验内容及要求1.编写程序使用分治算法MINMAX求解数组的最小值和最大值，并用实际数组对算法进行测试。2.要求算法中元素比较的次数为3n/2-2，在程序中元素比较的地方进行记录，并在程序末尾输出数组最大值和最小值以及元素比较次数。四、实验步骤1.定义结构体类型或类，用以在函数的返回值同时返回数组的最大值和最小值。结构体定义可以参考：structT{intmax,min;};类的定义可以参考：classT{private:intmax,min;public:intgetMax(){…}intgetMin(){…}voidsetMax(intmax){…}voidsetMin(intmin){…}}2.编写函数MINMAX求解数组最大值和最小值，函数头为：TMINMAX(inta[],intlow,inthigh)a为数组名，low和high分别为数组的下标上界和下界。3.在main函数中使用给定数组{21,25,49,16,25,6,78,1}测试MINMAX函数并输出元素比较次数，效果如下图所示。五、思考和作业1.试修改程序MINMAX，使得当数组长度n不是2的整数幂也能运行，并分析修改后算法的元素比较次数。2.使用分治算法解决最大子数组和问题，问题描述如下：给定一个整数序列S，找出S中的连续子序列，使得该子序列和最大，要求算法时间复杂性为Θ(nlogn)。例如：-2,11,-4,13,-5,-2;结果为20:(11,-4,13)。提示：假定要寻找子数组S[low…high]的最大子数组，使用分治法将数组分解成两个尽可能想相等的子数组，找到子数组中点mid，则S[low…high]中任何连续数组S[i…j]必然是一下三种情况之一：完全位于S[low…mid]中，low≤i≤j≤mid完全位于S[mid+1…high]中，midi≤j≤high跨越中点mid，low≤i≤midj≤high因此，S[low…high]的一个最大子数组所处的位置必然是三种情况之一。可以通过递归方法求解A[low…mid]和A[mid+1…high]的最大子数组，则剩下的问题就是求解跨越中点的最大子数组，然后在三种情况下选择最大者。Part1Part2thesubwithlargestsummaybein:Part1Part2or:Part1Part2recursionThelargestistheresult