文科数学第一轮复习1.1集合(世纪金榜)

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合1.集合的含义与表示方法(1)集合：①含义：研究对象叫做_____，一些_____组成的总体叫做集合;②元素的性质：_______、_______、_______.(2)元素与集合的关系：①属于，记为___；②不属于，记为___.元素元素确定性无序性互异性∈(3)常见数集的符号：(4)集合的表示方法:①_______；②_______；③_______.NN*或N+ZQR列举法描述法图示法自然数集正整数集整数集有理数集实数集______________2.集合间的基本关系相同表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素____A__B且B__AA=B__A__B(B)AB或BAAB或BA任何集合任何非空集合表示关系文字语言符号语言子集A中任意一个元素均为B中的元素___________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素___________空集空集是_________的子集，是_____________的真子集3.集合的基本运算A∪BA∩B{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}UA{x|xUxA}且ð基本运算并集交集补集符号表示________若全集为U,集合A为全集U的一个子集，则集合A的补集为____图形表示数学语言表示__________________________________________________UAð判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则A=B=C.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.()(3)A∩B=的充要条件是A=B=.()(4)A∩B=A⇔A⊆B.()(5)A∪B=A⇔B⊆A.()(6)(A∪B)=(A)∩(B).()UðUðUð【解析】(1)错误．集合A是函数y=x2的定义域，即A=(-∞,+∞)；集合B是函数y=x2的值域，即B=［0,+∞)；集合C是满足方程y=x2的实数x,y的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．(2)正确．空集的子集个数为1个，即；含有1个元素的集合{a1}的子集个数为2个，即,{a1}；含有2个元素的集合{a1,a2}的子集个数为4个，即,{a1},{a2},{a1,a2}……归纳可得含有n个元素的集合的子集个数为2n个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．(3)错误．A∩B=时，只要集合A,B没有公共元素即可，不一定是A=B=．(4)正确．当A⊆B时，显然A∩B=A；当A∩B=A时，对任意x∈A，得x∈A∩B，得x∈B，即x∈A⇒x∈B，故A⊆B．(5)正确．当B⊆A时，显然A∪B=A；当A∪B=A时，对任意x∈B，则x∈A∪B，得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．(6)正确．设x∈(A∪B)，则x(A∪B)，得xA且xB，即x∈A且x∈B，即x∈(A)∩(B)，即(A∪B)⊆(A)∩(B)；反之，当x∈(A)∩(B)时，得x∈A且x∈B，UðUðUðUðUðUðUðUðUðUðUðUð得xA且xB，得x(A∪B)，得x∈(A∪B)，即(A∪B)(A)∩(B)．根据集合相等的定义得(A∪B)=(A)∩(B)．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√UðUðUðUðUðUðUð1.已知集合A={-1,0,1}，B={x|x1}，则A∩B=()(A){-1}(B){0}(C){-1,0}(D){-1,0,1}【解析】选C．因为-1和0都小于1，所以A∩B={-1,0}.2.已知集合P={-1，m}，Q={x|-1x＜}，若P∩Q≠，则整数m为()(A)0(B)1(C)2(D)4【解析】选A.根据集合元素的互异性得m≠-1，在P∩Q≠的情况下整数m的值只能是0．343.若集合P={x|x＜1},Q={x|x＞-1}，则()(A)P⊆Q(B)Q⊆P(C)P⊆Q(D)Q⊆P【解析】选C.∵P={x|x≥1},∴P⊆Q.RðRðRðRð4.设全集U={x∈Z|-1≤x≤3}，A={x∈Z|-1＜x＜3}，B={x∈Z|x2-x-2≤0}，则(A)∩B=()(A){-1}(B){-1,2}(C){x|-1＜x＜2}(D){x|-1≤x≤2}【解析】选A.全集U={-1,0,1,2,3}，集合A={0,1，2}，集合B={-1,0,1,2}，所以(A)∩B={-1,3}∩{-1,0,1,2}={-1}.UðUð5.已知集合A={-1,0,a}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B≠，则实数a的取值范围是()(A){1}(B)(-∞,0)(C)(1,+∞)(D)(0,1)【解析】选D.如图，显然必须A∩B={a}，则0＜a＜1．6.设集合A={x|x2+2x-8＜0},B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为()(A){x|x≥1}(B){x|-4＜x＜2}(C){x|-8＜x＜1}(D){x|1≤x＜2}【解析】选D.阴影部分是A∩B.集合A={x|-4＜x＜2}，B={x|x≥1}，所以A∩B={x|1≤x＜2}．RðRðRð考向1集合的基本概念【典例1】(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()(A)3(B)6(C)8(D)10(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足x∈A,y∈A,x-y∈A的有序实数对，根据要求分类列举求解．(2)据1∈A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数．【规范解答】(1)选D.方法一：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个．所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10．方法二：在平面直角坐标系中列出x,y∈A的点，其中在直线x-y=a(a∈A)上的点的个数即为集合B中元素的个数．如图，容易计算其中是集合B的元素的共有10个．(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A={1,0,1}，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A={2,1,3}或A={0,1,1}，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A={1,0,1}或A={0,1,1}，都与集合元素的互异性相矛盾．综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素．【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-y∈A的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有5×5=25个元素.【拓展提升】1.集合与元素的关系集合与元素之间只能有“属于”“不属于”两种，二者必居其一且只能居其一，即集合元素的确定性．集合含义{x|f(x)=0}方程f(x)=0的解集{x|f(x)0}不等式f(x)0的解集{x|y=f(x)}函数y=f(x)的定义域{y|y=f(x)}函数y=f(x)的值域{(x,y)|y=f(x)}函数y=f(x)图象上的点集{(x,y)|Ax+By+C0}(A,B不同时为零)不等式Ax+By+C0的解集，或者平面直角坐标系中的半平面（不含边界）{(x,y)|x2+y2≤r2(r≠0)}圆x2+y2=r2及其内部组成的区域2.集合的含义【变式训练】定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为()(A)0(B)2(C)3(D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集合A*B中所有元素之和为6.考向2集合间的基本关系【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0x5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A∪B=A∩B,则实数a的取值集合是.【思路点拨】(1)求出A,B中的元素,由A⊆C⊆B,知集合C的个数由B中有A中没有的元素个数决定.(2)A∪B=A∩B⇔A=B，得出关于a,b的方程组，解出a,b，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．【规范解答】(1)选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0x5,x∈N}={1,2,3,4},由A⊆C⊆B,方法一:则C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:则C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.(2)方法一：因为A∪B=A∩B,所以A=B，所以{1,b}={a2,ab}，所以解得反代回A,B集合知，只有适合，所以即实数a的取值集合是{-1}.221ab,1ababba，或，a1a1a1,b0bRb1.，，或或a1b0，a1b0.，方法二:因为A∪B=A∩B,所以A=B，所以{1，b}={a2,ab}.由于两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别等于另外两个数的和与积，故{1,b}={a2,ab}成立的充要条件是解得反代回A，B集合知，只有适合.即实数a的取值集合是{-1}.答案：{-1}221baab,1baab,a1,a1,b0bR.或a1,b0【拓展提升】集合间的基本关系的几个结论(1)A∪B=A⇔B⊆A.(2)A∩B=A⇔A⊆B.(3)A∩B=A∪B⇔A=B．【提醒】解决两个集合之间的包含关系时，注意空集的情况，如A⊆B，无论集合B如何，集合A都有为空集的可能．【变式训练】(1)已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为()(A)1(B)-1(C)1或-1(D)0或1或-1【解析】选D．M∩N=N⇔N⊆M．当a=0时，N=，符合要求，当a≠0时，只要即a=±1即可．1aa，(2)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}，若A=B，则实数对(x,y)的取值集合是_________.【解析】由A=B，且0∈B，故集合B中的元素x2≠0,xy≠0，故x≠0,y≠0，那么只能是集合A中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，{x,y}={x2,xy}，答案：{(1,-1),(-1,1)}22xy0,xy0,xx,xy,xyyxyx.即或，x1,x1,y1y1.解得或，考向3集合的基本运算【典例3】(1)(2012·福建高考)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是()(A)N⊆M(B)M∪N=M(C)M∩N=N(D)M∩N={2}(2)(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={0,1,3,5,8}，集合B={2,4,5,6,8}，则(A)∩(B)为()(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}UðUð【思路