2020高考热点立体几何之外接球和内切球

1外接球和内切球题型一高过外心（正棱锥、圆锥、侧棱相等）【例1】已知正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，2PAAB，则球O的表面积为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD=221AC，OP222OBPB，∴O是球心，球O的半径r2∴球O的表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．【举一反三】1．（2019·广东高考模拟（文））在三棱锥PABC中.2PAPBPC.1ABAC，3BC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8B．163C．43D．32327【答案】B题型二高不过心（直棱柱、圆柱、侧棱垂直于底面的圆锥）【例2】（1）（2019·天津高考模拟（理））长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的8个顶点在同一个球面上，且𝐴𝐵=2，𝐴𝐷=√3，𝐴𝐴1=1，则球的表面积为______．2（2）已知正三棱柱111ABCABC的底面边长为3，外接球表面积为16，则正三棱柱111ABCABC的体积为（）A.334B.332C.934D.932【答案】（1）8π（2）D【举一反三】1．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，12,4AABCBAC，则三棱柱111ABCABC外接球的体积为（）A．123B．83C．63D．43【答案】D2．四棱锥PABCD的底面为正方形ABCD，PA底面ABCD，2AB，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92的同一球面上，则PA的长为（）A．3B．2C．1D．12【答案】C3．四棱锥ABCDE的各顶点都在同一球面上，AB底面BCDE，底面BCDE为梯形，60BCD，且2ABCBBEED＝＝＝＝，则此球的表面积等于（）A．25B．24C．20D．16【答案】C3题型三找高作心（顶点的投影在底边上）【例3】（1）在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝛥𝐴𝐵𝐶是边长为2√3的等边三角形，其中𝑃𝐴=𝑃𝐵=√7，则该三棱锥外接球的表面积为_____．（2）在四面体ABCD中，ABD与BDC都是边长为2的等边三角形，且平面ABD平面BDC，则该四面体外接球的体积为_______．【举一反三】1．已知四棱锥SABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于_________.【答案】10153（2019·河南高考模拟（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（）A．195754B．226654C．193D．223【答案】A4考向四球心在边上（斜边是球的直径）【例4】在三棱锥PABC中，222ACAB，10BC，90APC，平面ABC平面PAC，则三棱锥PABC外接球的表面积为（）A．4B．5C．8D．10【答案】D【举一反三】1．已知三棱锥ASBC的体积为233，各顶点均在以SC为直径球面上，2,2ABACBC，则这个球的表面积为_____________。【答案】16π考向五嵌套模型【例5】（1）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4，则其侧棱长为（）．A.33B.233C.223D.23（2）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A．23B．32C．3D．43【答案】（1）B（2）B5【举一反三】1．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A.41𝜋B.48𝜋C.51𝜋D.164𝜋【答案】A【解析】由三视图可得该几何体为如下图（一）所示三棱锥，其中，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵=𝐴𝐷=4，𝐵𝐶=3因为𝐶𝐷的中点𝐸到所有顶点的距离相等，所以𝐸为外接球球心.因为𝐶𝐷=√42+32+42=√41所以外接球半径为：𝑟=√412，则表面积为：4𝜋𝑟2=41𝜋.选A.2．已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB平面BCD，2ABBDCD，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．3B．23C．43D．12【答案】D6题型六最值问题【例6】在三棱锥—PABC中，PA平面ABC，2,30APCSABC，则三棱锥—PABC的外接球体积的最小值为()A．4B．43C．64D．332【答案】D【举一反三】1．已知ABC，，三点都在表面积为100的球O的表面上，若4360ABACB，.则球内的三棱锥OABC的体积的最大值为（）A．83B．103C．123D．163【答案】C2．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a，b，且520,02abab，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A.174B.214C.4D.5【答案】B3．已知三棱锥PABC中，侧棱2,5,3PAPBPC,当侧面积最大时，三棱锥PABC的外接球体积为____【答案】3237题型七内切球【例7】如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）A．254B．2516C．11254D．112516【答案】D【举一反三】1．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为1S，外接球的表面积为2S，则12SS（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:8【答案】C2．一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4，则圆锥的内切球的表面积为()A．8B．24(22)C．24(22)D．232(22)49【答案】B3．将半径为3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A．B．2C．3D．48【答案】B课后作业1．三棱柱111ABCABC的侧棱垂直于底面，且1,2ABBCABBCAA,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48B．32C．12D．8【答案】C2．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，若鳖牖PADE的体积为l，则阳马PABCD的外接球的表面积等于（）．A．17B．18C．19D．20【答案】A3．已知正方形ABCD的边长为2,CD边的中点为E，现将,ADEBCE分别沿,AEBE折起，使得,CD两点重合为一点记为P，则四面体PABE外接球的表面积是（）A．1712B．1912C．193D．173【答案】C4．已知𝑆、𝐴、𝐵、𝐶是球𝑂表面上的点，𝑆𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝑆𝐴=1，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，则球𝑆的表面积为（）A.5πB.52πC.9πD.92π【答案】C96．如图，边长为2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸、𝐹分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶的中点，将𝛥𝐴𝐷𝐸，𝛥𝐵𝐸𝐹，𝛥𝐶𝐷𝐹分别沿𝐷𝐸，𝐸𝐹，𝐹𝐷折起，使得𝐴、𝐵、𝐶三点重合于点𝐴′，若四面体𝐴′𝐸𝐷𝐹的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A.5𝜋B.6𝜋C.8𝜋D.11𝜋【答案】B7．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球𝑂的球面上，则球𝑂的表面积是：（）A.8𝜋B.12√3𝜋C.12𝜋D.48𝜋【答案】C8．已知三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶的底面𝛥𝐴𝐵𝐶的顶点都在球𝑂的表面上，且𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=2√3，𝐴𝐶=4√3，且三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶的体积为4√3，则球𝑂的体积为（）A.32𝜋3B.64𝜋3C.128𝜋3D.256𝜋3【答案】D9．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（）A．6πB．12πC．32πD．48π【答案】B1010．已知在三棱锥PABC中，1PAPBBC，2AB，ABBC，平面PAB平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．32B．23C．2D．3【答案】D11．已知三棱锥DABC的体积为6，在ABC中，2AB，4AC，60BAC，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的表面积等于（）A．323B．643C．43D．42【答案】C12．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）A．23B．49C．269D．827【答案】B13．已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=23，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π【答案】C14．（2019·全国高考模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积11为（）A．20πB．16πC．122πD．82π【答案】A15．如图，直角三角形ABC，2ABC，2ACBC，将ABC绕AB边旋转至'ABC位置，若二面角'CABC的大小为23，则四面体'CABC的外接球的表面积的最小值为（）A．6B．3C．32D．2【答案】B19．ABC中，2ABAC，90BAC，将ABC沿BC上的高AD折成直二面角BADC，则三棱锥BACD的外接球的表面积为（）A．B．2C．3D．2【答案】C20．四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，4AD，2AB，且8SASD，当该12四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________.【答案】76321．类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球O的一个内接四面体ABCD中，ABBC，BD过球心O，若该四面体的体积为1，且2ABBC，则球O的表面积的最小值为______.【答案】38