椭圆复习课

椭圆复习课椭圆——仙女座星系星系中的椭圆（一）椭圆的定义•平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。•定点F1、F2叫做椭圆的焦点。•两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.平面上----这是大前提2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a3.常数2a要大于焦距2C思考：1.当2a2c时,轨迹是（）椭圆2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点的线段．3.当2a2c时,无轨迹,图形不存在.4.当c=0时,轨迹为圆．第二定义:到定点的距离和到定直线的距离之比是常数:e=c/a(0e1)的点的轨迹.ePQPF＝2三．椭圆的几何性质xyoF1F2P（x0，y0）13.焦半径公式如图，若是椭圆上一点，P（x0，y0）则r1＝│PF1│＝a＋ex0r2＝│PF2│＝a－ex0三．椭圆的几何性质xyoF1F2P（x0，y0）13.焦半径公式如图，若是椭圆上一点，P（x0，y0）则r1＝│PF1│＝a＋ey0r2＝│PF2│＝a－ey0椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？【思考·提示】离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．基础知识梳理012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2MF1+MF2=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距a,b,c关系离心率22221(0)xyabab22221(0)xyabba|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。（a,0）,(0,b)（b,0）,(0,a)(c,0)(0,c)长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2c;a2=b2+c2cea4．椭圆的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是___________.x＝acosθy＝bsinθ例1、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________例题1162522yx543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程为）已知（1,64ca的值为则的焦距等于）椭圆（mymx,21452235或2213635xy2213536xy12小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c)椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出3.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=14m变式：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=1m-13-m(0,4)(1,2)2．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α＜2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()A．(34π，π)B．(π4，34π)C．(π2，π)D．(π2，34π)【解析】椭圆方程化为x21sinα＋y21－cosα＝1.∵椭圆焦点在y轴上，∴－1cosα＞1sinα＞0.又∵0≤α＜2π，∴π2＜α＜3π4.5．已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为________．【解析】若5＞m，则5－m5＝105，∴m＝3.若5＜m，则m－5m＝105，∴m＝253.【答案】3或2531．椭圆的一个光学性质为：光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点．现有一个椭圆形的台球桌，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，一个球由该椭圆的一个焦点处击出，经桌壁反弹后又回到起点，则球所走的路程为()•A．4aB．2(a－c)•C．2(a＋c)D．以上结果均有可能•A．4aB．2(a－c)•C．2(a＋c)D．以上结果均有可能•【解析】假设球由点F1处击•出，①经P、Q点后返回F1，则•路程为4a，②球由点F1击出经•B点后返回F1，则路程为2(a+c)．③球由点F1击出，经A点返回F1，则路程为2(a-c)．•【答案】D点与椭圆的位置关系及判断1.点在椭圆外2.点在椭圆上3.点在椭圆内点P(x0,y0)与椭圆22221(0)yxabab2200221xyab2200221xyab2200221xyab复习巩固怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？dr∆0∆0∆=0几何法：代数法：复习巩固dddd=rdr相交相切相离问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题2：椭圆与直线的位置关系？不能！所以只能用代数法组卷网因为他们不像圆一样有统一的半径。新课讲解相交相切相离例1：已知直线与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。21xy242122yxxy解：联立方程组消去y01452xx所以方程（１）有两个实数根，则原方程组有两组解,即直线与椭圆相交。新课讲解（１）036)1(54)4(2小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法（1）联立椭圆与直线方程组成的方程组;（2）消去一个未知数,得到一元二次方程,其判别式为Δ;（3）新课讲解△0直线与椭圆相交直线与椭圆相切△=0直线与椭圆相离△0相交相切相离EX：k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6相交?相切?相离?66kk-336k366-k33当或时相交；当=时相切；当时相离.例2、已知椭圆和直线l：4x－5y＋40＝0，试推断椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？221259xy+=OxyFlM154141方法一：切线法方法二：三角换元法mm例题讲解例4过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．141622yx)1,2(MMA（x2,y2）Mxyo（x1,y1）B例题讲解解:依题意,所求直线斜率存在,设它的方程为y-1=k(x-2)把它代入椭圆方程并整理得:zxxk016)12(4)2(8)14(2222kxkkxk设直线与椭圆的交点为:A(x1,y1)、B(x2,y2)于是14)2(82221kkkxx又M为AB的中点214)2(422221kkkxx21ABk解得：A（x2,y2）Mxyo（x1,y1）B故所求直线的方程为x+2y-4=0例题讲解弦中点、弦斜率问题的两种处理方法：（2）点差法：设弦的两端点坐标，代入曲线方程相减后分解因式，便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来。（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决；已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB→与OM→是共线向量．•(1)求椭圆的离心率e；•(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．ABMF1O【思路点拨】由AB→与OM→是共线向量可知AB∥OM，从而可得关于a、b、c的等量关系，从而求得离心率e；若求∠F1QF2的范围，即需求cos∠F1QF2的范围，用余弦定理即可．【自主解答】(1)设F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝b2a，∴kOM＝－b2ac.∵kAB＝－ba，OM→与AB→是共线向量，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝22.ABMF1O(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝(r1＋r2)2－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2(r1＋r22)2－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝43，|PF2|＝143.•(1)求椭圆C的方程；•(2)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．•【思路点拨】(1)可根据椭圆定义来求椭圆方程；•(2)方法一：设斜率为k，表示出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求解；•方法二：设出A、B两点坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用中点坐标公式及斜率求解(即点差法)．【解析】：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝|PF2|2－|PF1|2＝25，故椭圆的半焦距c＝5，从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为x29＋y24＝1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圆心M的坐标为(－2,1)，从而可设直线l的方程为：y＝k(x＋2)＋1，代入椭圆C的方程得：(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0.因为A，B关于点M对称，所以x1＋x22＝－18k2＋9k4＋9k2＝－2，解得k＝89，所以直线l的方程为y＝89(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0.(经检验，所求直线方程符合题意)方法二：(1)同方法一．(2)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圆心M的坐标为(－2,1)，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意x1≠x2，x219＋y214＝1①x229＋y224＝1②由①－②得：(x1－x2)(x1＋x2)9＋(y1－y2)(y1＋y2)4＝0③因为A，B关于点M对称，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，代入③得y1－y2x1－x2＝89，即直线l的斜率为89，所以直线l的方程为y－1＝89(x＋2)，即8x－9y＋25＝0.(经检验，所求直线方程符合题意)2．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1相交于A、B两点，若|AB|＝22且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为22，求实数a、b的值．【解析】方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)．则由y＝22xx＋y＝1解得C(2－2，2－1)，故|AC|＝|BC|＝2.∴(x－2＋2)2＋(y－2＋1)2＝2x＋y＝1.解得x1＝1－2y1＝2或x2＝3－2y2＝2－2.把A(1－2，2)，B(3－2，2－2)代入椭圆方程，得a＝13b＝23.方法二：将x＋y＝1即y＝1－x代入ax2＋by2＝1，整理得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.Δ＝4b2－4(a＋b)(b－1)＝－4(ab－a－b)＝4(a＋b－ab)．设A(xA，yA)、B(xB，yB)，则xA＋xB＝2ba＋bxA·xB＝b－1a＋b，|AB|＝2|xA－xB|＝2·Δ|a＋b|＝22a＋b－aba＋b＝22.∴a＋b－ab＝a＋b①由xA＋xB2＝ba＋b，∴yA＋yB2＝1－xA＋xB2＝aa＋b.∴ab＝12，∴b＝2a②由①②知，a＝13，b＝23.(12分)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，满足F1M→·F2M→＝0.(1)求离心率e的取值范