第20课时解直角三角形的应用

第一部分教材知识梳理第四单元三角形第20课时解直角三角形的应用中考考点清单考点1锐角三角函数1.三角函数的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为△ABC中的一锐角，则有∠A的正弦：sinA=①_____.∠A的余弦：cosA=②_____.∠A的正切：tanA=.acbcba2.特殊三角函数30°45°60°图形sinα③____④____cosα⑤____⑥____tanα⑦____三角函数角度1222333223232121考点2解直角三角形的边角关系已知条件图形解法一直角边和一锐角（a,∠A）∠B=90°-∠A，c=，b=（或b=）斜边和一个锐角（c，∠A）∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA（或b=）asinAatanA22ca22ca两直角边（a，b）c=，由tanA=,求∠A，∠B=90°-∠A斜边和一条直角边（c，a）b=，由sinA=,求∠A，∠B=90°-∠A22ca22ababac仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角，如图（1）坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，i=tanα=，如图（2）hl仰角、俯角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）通常表达成北（南）偏东（西）××度，如图（3）,A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向,C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)，如图（3）常考类型剖析典例精讲类型一直角三角形的边角关系例1(’14柳州)如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC＝53，∠A＝30°.（1）求BD和AD的长；（2）求tan∠C的值.例1题图（1）【思路分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可先求得BD的长度，再根据勾股定理求得AD的长度.（2）已知AC的长及由第（1）问知AD的长可求得CD的长，利用正切定义得到tan∠C=,即可求解.BDCD解：（1）∵BD⊥AC，∠A=30°，AB＝6,∴BD＝AB=3.∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=＝＝.（2）∵AC=,AD=,∴CD=AC-AD=.∴在Rt△BCD中，tan∠C==＝.1222ABBD226333533323BDCD32332类型二解直三角形的实际应用1.解决解直角三角形的实际应用问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：（1）根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；（2）若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形.2.解直角三角形的应用题最后的计算结果常要取近似值，要注意题中精确度的要求，如1.372精确到1是1，精确到0.1是1.4，精确到0.01是1.37.例2（’14兰州）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）例2题图【信息梳理】原题信息整理后信息结论在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆.拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB∠DEC=60°,DB=6米AM=BD=6米，AB=MD=1.5米，CM=AM·tan30°，CD=CM+MD在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB=1.5米过点A作AM⊥CD，垂足为M，∠MAC=30°AM=BD=6米，AB=MD=1.5米，CM=AM·tan30°，CD=CM+MD求拉线CE的长求CE的长CE=sin60CDo解：过点A作AM⊥CD,垂足为M.∴AM=BD=6米，AB=MD=1.5米.在Rt△ACM中，tan30°＝，∴CM=AM·tan30°＝6×＝2（米）.∴CD=CM+MD=2+1.5(米),在Rt△CED中，sin60°＝,∴.∴CE==(米).答：拉线CE的长为（）米.CMAM3333CDCE323152.CE43334343例2题解图M