牛顿力学和分析力学的分析比较

研究方法和意义通过在具体的事例之中用两种方法求解，比较求解过程和求出的结果做对比对大量的事例用不同的方法求解，可以发现对于有些事例有些方法很难求解或用平常的方法无法求解，对这些事例分析比较两种方法的特点和应用范围。加深对两种力学的了解，在遇到具体的问题可以选择合适的方法求解。主要内容一、牛顿力学的内容和应用二、分析力学的内容和应用三、牛顿力学和分析力学在应用时的比较四、分析两大力学在应用上的优缺点牛顿力学的内容牛顿力学三大定律F=ma动量定理Fdt=mdv机械能守恒分析力学的主要内容拉格朗日方程为哈密顿正则方程为(),1,2,3,4,iiidTTQisdtqq1(,,)siiiiiiiHpqtLpqHqpHpq分析力学的形成,是经典力学发展史上的一个重要里程碑,通过拉格朗日方程、最小作用原理,把全部力学建立在能量不灭原理基础之上,从而使动力学达到了前所未有的高峰,为现代力学奠定了基础。把力学原理归结成了一般的形式,不仅给出了解决力学问题的统一的观点和方法,而且成为新的科学研究的起点,为自然科学的发展提供了新的思路,架起了通往近代物理的桥梁,成为处理整个物理学领域的方法。保守系中两种力学的比较拉格朗日方程为：对于保守系：所以方程也可以写为：在保守系中：所以：即()0iidLLdtxx(1,2,3,4,)is()iTTx()iUUx()0iidTUdtxxiiUFx211()()2siiiiiiidTddFmxmxpdtdtdtxxFp两种力学的应用比较例:一质量为m的小环P套在半径为R的光滑大圆环上,并可沿大圆环滑动,大圆环以角速度ω(t)绕环上固定点O在水平面(纸面)内转动,（如图）,写出小环相对于大环的运动方程。因为质点只能在圆环上运动，所以只有一个自由度，选半径cp与直径od之间的夹角为广义坐标。P点：质点的动能为因为质点在水平面内运动势能为常数，为了方便取值为0代入拉格朗日方程：得用牛顿力学方法求解：coscos()xRRsinsin()yRR2222211()[4(cos)]222TmxyRLTUT0dLLdt2(1cos)sin0用牛顿力学方法求解：选取随大环一起转动的非惯性系来讨论，运动学方程为N是大环对小环的作用力，方向沿大环半径方向cpF是惯性力所以代入原始方程有：整理的：maNF[()2]rFmacpcpVaococ22(sincos)(cossin)raRReRRe22(1cos)sin2mRNmRmRmR2sin(1cos)mRmRmR2(1cos)sin0例2：均匀杆OA，重长为，能在竖直面内绕固定铰链O转动，此杆的A段，用铰链连另一重片，长为的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F，求平衡时此二杆与水平线的角度？1P1l2p2l两个杆都保持静止要符合受力平衡和转动平衡，设两杆之间的力为f，-f重力分别为AB杆受力平衡得：以A点为支点AB杆转动平衡得：以O点为支点OA杆转动平衡得：整理的：用分析力学求解则需要先确定两个自由度，假设虚位移用虚功原理求解。12,pp20fpF2221sincos2lFlp112111sincoscos2Fllplp1222pptgF22ptgF因两个杆都在一个平面内，只要四个坐标就能确定A,B两点的位置，又因OA，AB两杆的长度一定，可以作为两个约束方程，我们可以选两个夹角为广义坐标。点的坐标为，的作用点的坐标为虚功原理得：整理的：,11(,)xy2p1p22(,)xy112230pxpxFy111sin2xl2121sinsin2xll312coscosyll112121211p(sin)(sinsin)(coscos)022lpllFll1121122211(coscossin)(cossin)022plplFlplFl112111coscossin02plplFl2221cossin02plFl1222pptgF22ptgF通过以上两个简单的例子就可以看出牛顿力学对于结构稳定受力分析简单的事例解决是比较简单的对于受力分析比较难分析运动方式不稳定的例题我们可以用分析力学来解决拉格朗日力学与牛顿力学的着眼点是不一样的。牛顿力学方法是以质点为对象,把着眼点放在作用于物体上的外界因素力,在处理质点系统问题时,须分别考虑各个质点所受的力,然后来推断整个质点系统的运动,而拉格朗日在处理问题时,以整个力学系统作为对象,用广义坐标来描述整个力学系统的位形,着眼于体系的能量如动能和势能概念。实际上,在拉格朗日表述中没有一处引人过力的概念,这主要是因为能量是标量,并且一系统的拉格朗日函数是不随坐标变化而变化的在力学系统受到理想约束时,可在不考虑约束力的情况下来解决系统的运动间题另外牛顿力学用矢量如力、速度、角速度、力矩等形式来考虑力学系统,而在拉格朗日力学中运动方程完全是在位形空间以标量运算的形式获得的,因而往往我们可以把在普通空间中很复杂的运动方程变换到形空间,并适当选择位形空间可使问题得到很大的简化如求解双摆间题陀螺运动等等。结论牛顿力学和分析力学都是力学史上的重要里程碑，并不能说谁比谁更优越，从更本上讲分析力学是对牛顿力学的发展，他并没有比牛顿力学创新出新的颠覆性的理论，但是它的出发点和思路和传统的牛顿力学是不同，他们各有各的偏重，通过数学的推算也可以看到他们在一定的条件下是完全等价的。作为解决问题的工具分析力学的应用面比牛顿力学更广泛但是在某些情况下并不是最简单实用的，对解决一些非稳定的，非线性的东西时我们可以通过分析力学的方法对提出的问题进行数学建模，进而对问题进行解决。