与两条异面直线成等角的直线条数的判定

与两条异面直线成等角的直线条数的判定一(2)班杨一帆过空间一点作与已知异面直线成等角的直线有几条的问题见诸于各种材料。其考查学生的空间想象能力、化归能力、识图能力、分类讨论能力，训练学生逻辑思维的深刻性、完备性。该种题型的常见解题思路是先用异面直线所成的角的定义转化为以下问题：在空间中，过两条相交直线的交点作与已知两直线成等角的直线有几条？再讨论，画图求解。本文将该类题型归纳总结出几个结论，供同学们参考。题目1：已知异面直线a,b成θ角，过空间任意一点o作直线，使与a,b成等角φ，则这样的直线有条。上述问题，运用异面直线所成角的定义，过o作直线a∥a,b∥b,转化为题目2：已知直线,oba且'',ba成θ角，（注意θ角的范围），过o作与'',ba成等角φ的直线，则这样的直线有条。解：本题须分两大类讨论（∵θ∈]2,0(）。第一类：θ∈)2,0(时，若φ=,2则只能作一条直线0，满足题设。（此时0是∠''oba的角平分线，如图1）。12'b'b'a'aO20O20图1图2若0φ2,则这样的直线不存在。若22，则这样的直线有两条21,，（如图2）（实际上21,是0绕O在过0且与'',ba确定的平面垂直的平面内旋转而得。）若2，则这样的直线有3条21,，01（如图3）（此时01为∠''oba的补角的角平分线，21,是0绕O点在过0且与'',ba确定的平面垂直的平面内旋转而得。）若,22则这样有直线有4条21,,43,,（如图4，此时21,是0绕O点在过0且与'',ba确定的平面垂直的平面内旋转而得。43,是01绕O点在过01且与'',ba确定的平面垂直的平面内旋转而得。）若2，则这样的直线有且只有1条，即过O垂直于'',ba确定的平面的直线。（如图5）1213420101'a'b'a'b2'b'a2O2OO2图3图4图5第二类：2时，若40，则这样的直线不存在；若4，则这样的直线有两条（即为两个直角的角平分线，如图6）；若24，则这样的直线有4条（上种情形的两条直线旋转而得，如图7）；若2，则这样的直线有且只有1条，（即过O垂直于'',ba确定的平面的直线。如图8）121234'a'a'a'b'b'b图6图7图8把以上情形总结成下表：直线的条数θ的范围φ的范围2020φ200φ=2122220232（同于表中第二类φ=2）2244211当然，如果直线与异面直线a,b所成的角不相等的情形更为复杂，有兴趣的同学自行研究。以上是我的浅见，如有不正确的地方请批评指正。【点评】该生初学立体几何，能完成上文实难能可贵，有很好的数学天赋。在讨论中她忘了2这一类，经过指导修改形成上文。从该生身上可以看出任何学生都有学习的潜能，都有学好数学的能力。就看同学们是否愿意学，是否平时多思多想多总结。指导老师李云厅