导数压轴题题型归纳(3)

-1-导数压轴题题型归纳（3）例18(变形构造法)已知函数1)(xax，a为正常数．⑴若)(ln)(xxxf，且29a，求函数)(xf的单调增区间；⑵在⑴中当0a时，函数)(xfy的图象上任意不同的两点11,yxA，22,yxB，线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0xfk．⑶若)(ln)(xxxg，且对任意的2,0,21xx，21xx，都有1)()(1212xxxgxg，求a的取值范围．例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2aaxxxf.（1）若2)('xxf对任意的0x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当1a时，设函数xxfxg)()(，若1),1,1(,2121xxexx，求证42121)(xxxx例20（绝对值处理）已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极大值．（I）求实数a的取值范围；（II）若方程9)32()(2axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式；（III）对于（II）中的函数)(xf，对任意R、，求证：81|)sin2()sin2(|ff．例21（等价变形）已知函数xaxxfln1)(()aR．（Ⅰ）讨论函数)(xf在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(xf在1x处取得极值，对x),0(,2)(bxxf恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当20eyx且ex时，试比较xyxyln1ln1与的大小．-2-例22（前后问联系法证明不等式）已知217()ln,()(0)22fxxgxxmxm，直线l与函数(),()fxgx的图像都相切，且与函数()fx的图像的切点的横坐标为1。（I）求直线l的方程及m的值；（II）若()(1)'()()hxfxgx其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()hx的最大值。（III）当0ba时，求证：()(2).2bafabfaa例23(整体把握，贯穿全题)已知函数ln()1xfxx．（1）试判断函数()fx的单调性；（2）设0m，求()fx在[,2]mm上的最大值；（3）试证明：对任意*nN，不等式11ln()ennnn都成立（其中e是自然对数的底数）．例24(化简为繁，统一变量)设aR,函数()lnfxxax.（Ⅰ）若2a，求曲线()yfx在1,2P处的切线方程；（Ⅱ）若()fx无零点,求实数a的取值范围；（Ⅲ）若()fx有两个相异零点12,xx,求证:212xxe.例25（导数与常见不等式综合）已知函数211()()1(1)tfxtxxx，其中为正常数．（Ⅰ）求函数()tfx在(0,)上的最大值；（Ⅱ）设数列{}na满足：153a，132nnaa，（1）求数列{}na的通项公式na；（2）证明：对任意的0x，231()(*)nnfxnNa；（Ⅲ）证明：2121111nnaaan．-3-例26（利用前几问结论证明立体不等式）已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).(I)求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[x，都有不等式f(x)x+x2成立，求实数a的取值范围；(III)设*Nn,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn)(1ee例27已知函数21(0)2fxaxxca.若函数fx满足下列条件:①10f;②对一切实数x,不等式21122fxx恒成立.(Ⅰ)求函数fx的表达式;(Ⅱ)若21ftat2（x）对1,1x,1,1a恒成立,求实数t的取值范围;(Ⅲ)求证:*1112()122nnNfffnn.-4-参考答案例18解：⑴222)1(1)2()1(1)(xxxaxxaxxf∵a29，令0)(xf得2x或210x,∴函数)(xf的单调增区间为),2(),21,0(.⑵证明：当0a时xxfln)(∴xxf1)(,∴210021)(xxxxf,又121212121212lnlnln)()(xxxxxxxxxxxfxfk不妨设12xx，要比较k与)(0xf的大小，即比较1212lnxxxx与212xx的大小，又∵12xx，∴即比较12lnxx与1)1(2)(212122112xxxxxxxx的大小．令)1(1)1(2ln)(xxxxxh,则0)1()1()1(41)(222xxxxxxh,∴)(xh在,1上位增函数．又112xx，∴0)1()(12hxxh，∴1)1(2ln121212xxxxxx，即)(0xfk⑶∵1)()(1212xxxgxg，∴0)()(121122xxxxgxxg由题意得xxgxF)()(在区间2,0上是减函数．1当xxaxxFx1ln)(,21，∴1)1(1)(2xaxxF由313)1()1(0)(222xxxxxxaxF在2,1x恒成立．设)(xm3132xxx，2,1x，则0312)(2xxxm∴)(xm在2,1上为增函数，∴227)2(ma.-5-2当xxaxxFx1ln)(,10，∴1)1(1)(2xaxxF由11)1()1(0)(222xxxxxxaxF在)1,0(x恒成立设)(xt112xxx，)1,0(x为增函数,∴0)1(ta综上：a的取值范围为227a.例19解：（1）xaxxxf)ln(2)(',2)ln(2)('xxaxxxf，即xax1ln2在0x上恒成立设xaxxu1ln2)(,2,012)('xxxu，2x时，单调减，2x单调增，所以2x时，)(xu有最大值.212ln2,0)2(au，所以20ea.（2）当1a时，xxxxfxgln)()(,exxxg1,0ln1)(,所以在),1(e上)(xg是增函数，)1,0(e上是减函数.因为11211xxxe，所以111212121ln)()ln()()(xxxgxxxxxxg即)ln(ln211211xxxxxx,同理)ln(ln212212xxxxxx.所以)ln()2()ln()(lnln2112212112122121xxxxxxxxxxxxxxxx又因为,421221xxxx当且仅当“21xx”时，取等号.又1),1,1(,2121xxexx，0)ln(21xx,所以)ln(4)ln()2(21211221xxxxxxxx,所以)ln(4lnln2121xxxx，所以：42121)(xxxx.例20（I）,23)(,00)0(2baxxxfcf320)1(abf),323)(1()32(23)(2axxaaxxxf由33210)(axxxf或，因为当1x时取得极大值，-6-所以31332aa，所以)3,(:的取值范围是a；（II）由下表：x)1,(1)332,1(a332a),332(a)(xf+0-0-)(xf递增极大值2a递减极小值2)32(276aa递增依题意得：9)32()32(27622aaa，解得：9a所以函数)(xf的解析式是：xxxxf159)(23（III）对任意的实数,都有,2sin22,2sin22在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(fff,7)1()(fxf的最大值是7430368)2()(fxf的最小值是函数]2,2[)(在区间xf上的最大值与最小值的差等于81，所以81|)sin2()sin2(|ff．例21解：（Ⅰ）xaxxaxf11)(，当0a时，()0fx在),0(上恒成立，函数)(xf在),0(单调递减，∴)(xf在),0(上没有极值点；当0a时，()0fx得10xa，()0fx得1xa，∴)(xf在(10,)a上递减，在(1),a上递增，即)(xf在ax1处有极小值．∴当0a时)(xf在),0(上没有极值点，当0a时，)(xf在),0(上有一个极值点．（Ⅱ）∵函数)(xf在1x处取得极值，∴1a，∴bxxxbxxfln112)(，令xxxxgln11)(，可得)(xg在2,0e上递减，在,2e上递增，∴22min11)()(eegxg，即211be．（Ⅲ）证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(yexeyxeyxyx，令)1ln()(xexgx，则只要证明)(xg在),1(e上单调递增，-7-又∵)1(ln11)1ln()(2xxxexgx，显然函数11)1ln()(xxxh在),1(e上单调递增．∴011)(exh，即0)(xg，∴)(xg在),1(e上单调递增，即)1ln()1ln(yexeyx，∴当1eyx时，有)1ln()1ln(yxeyx．例22解：（I）1'(),'(1)1;Qfxfxl直线的斜率为1，且与函数()fx的图像的切点坐标为（1，0），l直线的方程为1.yx又l直线与函数()ygx的图象相切，211722yxyxmx方程组有一解。由上述方程消去y，并整理得22(1)90xmx①依题意，方程②有两个相等的实数根，2[2(1)]490m解之，得m=4或m=-2，0,2.Qmm（II）由（I）可知217()2,22gxxx'()2,()ln(1)2(1)gxxhxxxx，1'()1.11xhxxx当x(-1,0)时,h'(x)0,h(x)单调，当(0,)x时，'()0,()hxhx单减。当x=0时，()hx取最大值，其最大值为2。（III）()(2)ln()ln2lnln(1).22abbafabfaabaaa0,0,10.22Qbaababaa证明，当(1,0)x时，ln(1),ln(1).22babaxxaa-8-()(2).2bafabfaa例23解：（1）函数()fx的定义域是(0,)．由已知21ln()xfxx．令()0fx，得xe．因为当0xe时，()0fx；当xe时，()0fx．所以函数()fx在(0,]e上单调递增，在[,)e上单调递减．（2）由（1）可知当2me，即2em时，()fx在[,2]mm上单调递增，所以maxln2()(2)12mfxfmm．当me时，()fx在[,2]mm上单调递减，所以maxln()1mfxm．当2mem，即2eme时，max1()()1fxfee．综上所述，maxln21,0221()1,2ln1,memmefxmeemmem（3）由（1）知当(0,)x时max1()()1fxfee．所以在(0,)x时恒有ln1()11xfxxe，即ln1xxe，当且仅当xe