2016考研数学笔记(公式背诵)

1高等数学高中公式三角函数公式和差角公式和差化积公式sin()sincoscossincos()coscossinsin()11()tgtgtgtgtgctgctgctgctgctgsinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos-2sinsin22积化和差公式倍角公式1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]222222222233322tansin22sincos1tancos22cos112sin1tancossin1tan212212sin33sin4sincos34cos3cos3313tgctgtgctgtgctgtgtgtgtg半角公式1cos1cossincos22221cos1cossin21cossin1cos1cos1cossin21cossin1costgctg　11V=SHV=SHV=H(S++S)33SS棱柱棱锥棱台球的表面积：4πR2球的体积：343R椭圆面积：πab椭球的体积：43abc第1章极限与连续1.1集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数1.2数列的极限性质：1.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。2.（有界性）收敛数列必为有界数列。3.（子列不变性）若数列收敛于a，则其任何子列也收敛于a。注1.一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。注2.若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于a。注3.性质3提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。4.（对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于a，则改变{xn}中的有限项所得到的新数列仍收敛于a。5.（保序性）若lim,limnnnnxayb，且ab，则存在N，当nN时，有xnyn。判别法则：1.夹逼法则：若∃N,当nN时，xn≤yn≤zn，且limnxn=limnzn=a,则limnyn=a。2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当m，nN时，有|xm-xn|ε。1.3函数的极限性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则：1.夹逼法则：若00lim()lim()xxxxfxhxA，且存在x0的某一去心邻域00(,)(,)ooUxxUx，使得，均有f(x)≤g(x)≤h(x)，则0lim()xxgxA。2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。3.柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是：∀ε0,∃0,∀x’,x’’∈0(,)oUx,有|f(x’)-f(x’’)|ε。4.海涅(Heine)归结原则：0lim()xxfxA的充要条件是：对于任何满足0limnnxx的数列{xn}，都有lim()nnfxA。归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个收敛于该点的自变量x的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}却具有不同的极限。1.4无穷小与无穷大若0()lim()xxxlx，当001l时，则称x→x0时称α(x)是β(x)的()(())()(())()~()xoxxOxxx高阶无穷小，记作同阶无穷小，记作等阶无穷小，记作常用等价无穷小2sintanarcsinarctan1ln(1)~11cos~(1)1~1~ln2xaxxxxxexxxxxaxaxa若f(x=0),f’(0)≠0,则201()(0)2xftdtfx确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式1.5连续函数极限存在⇔左右极限存在且相等。连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.左右极限至少有一个不存在。闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。1.6常见题型求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；7.放缩法；求极限limnnx,就要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn.8.求递归数列的极限(1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设limnnxA,再对递归方程1()nnafa取极限得A=f(A),最后解出A即可。(2)先设limnnxA，对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明limnnaA。第2章导数与微分2.1求导法则和求导公式求导法则：21.四则运算法则[αu(x)+βv(x)]’=αu’(x)+βv’(x)[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)2()()()()()[]()()uxuxvxuxvxvxvx2.复合函数求导([()])[()]()fxfxx关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量3.反函数求导11[()]()fyfx4.隐函数求导5.参数式求导223()()()()()(),,()()[()]xxtdyytdyytxtytxtyytdxxtdxxt6.对数求导法7.分段函数求导(1)按求导法则求连接点处的左右导数设00000(),(),()(),().(),gxxxxfxgxhxAfxAhxxxx若则(2)按定义求连接点处的左右导数设000000(),()()(),,()()(),gxxxxgxfxxfxAxxgxhxhxxxx与在点处无定义，可按定义求与(3)对于0000000()()(1)()()lim(),(),,(2)()lim()xxxxfxfxfxfxgxxxxxfxAxxfxfx很复杂，按定义求,否则，先求出，再求8.变限积分求导()()(),(())()(())()xxdyyftdtfxxfxxdx求导公式：1()0()()ln1(log)lnxxaCxxaaaxxa22(sin)cos(cos)sin(tan)sec()csc(sec)sectan(csc)cscxxxxxxctgxxxxxxxctgx22221(arcsin)11(arccos)11()11()1xxxxarctgxxarcctgxx2.2高阶导数和高阶微分求高阶导数的方法：1.莱布尼茨（Leibniz）公式：()()()0(()())()()nnkknknkuxvxCuxvx2.常用公式()()axbnnaxbeae()(sin())sin()2nnnaxbaaxb()(cos())cos()2nnnaxbaaxb()(())(1)...(1)()nnnaxbanaxb()11(1)!()()nnnnnaaxbaxb()11(ln())(1)(1)!()nnnnaxbanaxb3.分解法分解为上述初等函数之和第3章中值定理和泰勒公式3.1中值定理费马定理：若是x0是f(x)的一个极值点，且f’(x0)存在，则必有f’(x0)=0(可微函数的极值点必为驻点)，1.罗尔定理：若函数f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0.2.拉格朗日定理：若函数f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得()()()fbfafba.3.柯西定理：若函数f(x)和g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii)∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得()()()()()()fbfafgbgag3.2泰勒公式求泰勒公式的方法：1.泰勒公式（拉格朗日余项）：()(1)10000()()()()()!(1)!knnknkfxffxxxxxkn2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）213521211242221231111!2!!(1)!sin(1)(1)cos3!5!(21)!(21)!cos1(1)(1)cos2!4!(2)!(22)!ln(1)(1)(1)23(1)(1nnxxnnnnnnnnnnnnxxxxeennxxxxxxxnnxxxxxxnnxxxxxxnn121(1))(1)(1)0121nnnnxxxxxxxnn2111(1)211(1)1(1)112211...(1)(1)(1)111...(1)11(23)!!(21)!!11(1)(1)(1)2(2)!!(22)!!nnnnnnnnnnkknnkxxxxxxxxxxxxknxxxxxkn3.逐项求导或逐项积分若0()()()()xxfxxfxtdt或，φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。例如：245355200111arctan(1)()()135xxxdtttdtoxxxxoxt3.3函数的极值、最值驻点，导数不存在的点为极值可疑点。驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。极值判别法则：1.设点x0为函数f(x)的极值可疑点，f(x)在点x0的邻域内连续，去心邻域内可微，如果在(x0-δ,x0)内f’(x0)≥0，在(x0,x0+δ)内f’(x0)≤0，则x0必为f(x)的极大值点。反之必为极小值点。2.若点x0是f(x)的驻点且f’’(x0)存在，则当f’’(x0)0(0)时，x0必为f(x)的极小(大)值点。3.设函数f(x)在点x0处有n阶导数，且(1)000()()...()0nfxfxfx，但()0()0nfx，则(i)当n为偶数时，f(x)在点x0处取极值，当()0()0nfx时取极小值，当()0()0nfx时取极大值；(ii)当n为奇数