《应用随机过程》A卷及其参考答案

1《应用随机过程》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级__专业姓名学号题号一二三四总分得分一、填空题（每小题4分，共16分）1、设X是概率空间,,FP上的一个随机变量，且EX存在，C是F的子－域，定义EXC如下：（1）____________________________；（2）___________________________________________________；2、在全数学期望公式EXEEXC中，取X＝____，C＝______，即得连续型（广义）全概率公式_______________________________；3、设,0Ntt是强度为的Poisson过程，,1nXn、,1nSn分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则12,,,,nXXX独立同参数为的指数分布，nS～________，11NtX～_____________，12,,,nNtnSSSd__________________________________________；4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为_____________________________________________，其处理问题的实质在于__________________________________________________________________。二、证明分析题（共10分，选做一题）1、设,0tXt是独立增量过程，且对每一个0t，0tEX，00X；又设2tsEXXFtFs，0st，Ft是t的非减函数，试证明：2,0tXFtt关于域流,0,0tsFXstt是鞅；2、设适应过程,0ttT满足平方可积条件，即：20TEtdt，令2001exp2ttZtudWuudu，则dZttZtdWt，从而,0ZttT是一个连续鞅。得分得分2三、计算证明题（共60分）1、（13分）假设XE～，给定0c，试分别由指数分布的无记忆性、条件密度和AEXIEXAPA，求EXXc；2、（15分，选做一题）（1）设iiXE，1,2i，且12,XX独立，试由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求12121212XXEIXXtPXXXXt，0t；（2）设12,,,nXXX独立同0,1U分布，12max,,,nYXXX，试分别由条件数学期望的直观方法和条件数学期望的一般定义求11EXYEXY；得分33、（10分）设有概率空间,,0,1,0,1,FPm，其上随机变量Y具有密度2,0,1;0,;Yyyfy其他，11220,,12233YYY，试求EY；4、（10分，选做一题）（1）假设1,0Ntt与2,0Ntt分别是参数为1与2的独立Poisson过程，试求“过程1Nt的任意两个相邻事件的时间间隔内，过程2Nt恰好有k个事件到达（发生）”的概率；（2）设,0Wtt为一维标准布朗运动，试求：（a）00,12,23P；（b）1013PWtdt；5、（12分，选做一题）（1）设随机变量X与U相互独立，X的密度函数为px，U服从0,1上的均匀分布，又函数qx满足条件：（a）0qx，且1qxdx；（b）存在0a，使得pxaqx（当0px时），令qxrxapx（当0px时，规定0rx）；又记MUrX，4试证明：zPXzMqxdx，即X在M发生的条件下的条件密度函数恰是qx；（2）设有SDE：()tttttdXaXbXdtcXdW，212tcWcttMe，试证：ⅰ）()tttttdMXMaXbXdt；ⅱ）令tttYMX，并证明其满足ODE：21124tcWcttttdYaYbeYdt；ⅲ）求证：ttZY满足2ttdZaZdt211242tcWctbe；ⅳ）通过解tZ证明：222112422002stcacWstcWctattbXeedsX。四、应用分析题（共14分）试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的Black-Scholes-Merton偏微分方程，并给出风险中性测度下的定价公式。得分5《应用随机过程》A卷参考答案一、填空题1、（1）EXC为C-可测的；（2）AC，CAAAXdPEXCdPEXCdP；2、AXI，,YCYYfy，YPAPAYyfydy；3、,n，0,Ut，12,,,nXXX，其中，12,,,nXXX为独立同0,Ut分布的12,,,nXXX对应的顺序统计量；4、,,0,;;dXtgXtYtdtYtdWttTXT，随机微分方程处理问题的实质在于：尽管现在时刻投资者无法预知将来某时刻的收益（随机变量），但投资者仍可确切地计算出今天如何去做，才能达到将来时刻的不确定收益！二、证明分析题1、由2,0tsEXXFtFsst；即有：222tstsEXXEXX2222022tsststsstsEXXXXEXXEXXEXEXXFtFs；从而，0st，2222tstsstssEXFtFEXXXXXFFt2222tsstssssEXXXEXXFXFtXFs。2、若令20012ttXtudWuudu，即：212dXttdWttdt，Xt即Ito过程；由关于Ito过程的Ito-Doeblin公式，XtZtfXte，/dZtfXtdXt2//21122XtXtXtfXtdXtedXtetdtetdWtZttdWt，两边积分，即有：00tZtZZuudWu；由于Ito积分是鞅，故,0ZttT是鞅；或由其随机微分dZt只含波动项ZttdWt而无漂移项，亦知,0ZttT是鞅！三、计算证明题61、（1）由几何分布的无记忆性，XcXcdX，1EXcXcEX，1EXXcEXcXcEcXcc；（2）1xXXcxccccEXIxedxxIfxdxEXXcceePXc；（3）,0XXcxcFxPXxXc；,1xcXXcPcXxxcFxPXxXcePXc，从而，若令XcXXcXfx，即有：,;0,;xcXXcXXcdexcfxFxdxxc；从而，1XXcXXccEXXcxfxdxxfxdxc；2、（1）易知，1212TXXE～；不妨令12,0XXEITtgtt，即有：12121212,..XXXXXXEIXXEITEITgTas。由定义，AT，1212XXXXAAAIdPEITdPgTdP；取112,,0ATtTtXtXtt；1121212211xXXtXXAtIdPIdPPtXXPXxXxedx12112te，1,,TATttgTdPgTdPgtdP12121212,ttttgtedtgtedt；即有：121211212tttegtedt，两边关于求导，即有：1212112ttegte，从而，112gt；即有：1211212,0XXEIXXtt。另一方法，0t，由于121212120012,limlimttPXXttXXtPXXttXXtPttXXt1112121212211211000,limlimtxxttttttttttPxXttxtXxedxPxXXxedxeeee12121121212121211210012limlimttttxtttttttttteePXxedxeeee，故7有，112121212012limtPXXXXtPXXttXXt。（2）由条件期望的直观方法，给定0,1Yy时，1X以概率1n取值为y，以11n的概率均匀取值于0,y；从而，11EXYyyn11122ynynn；即：111,..2nEXYEXYYasn。一般定义法：易见，0,0yPYy；1,1yPYy；10,1,nniiyPYyPXyy，从而，若YYfy～，则有1,0,1;0,;nYnyyfy其他；由条件期望的一般定义，AY，1AXdP1AAEXYdPgYdP；取1,,0,1AYyYyy，121211111nnYyXyXyXyXyXyXyAYyXdPXdPXIdPXIIIdPEXIII121112nnXyXyXyXyEXIEIEIEXIPXyPXy11012ynnxdxyy，1,,YYAYyygYdPgYdPgydPPY积分变换定理这里，为的概率分布,=yYYygyfydygyfydy；从而，0,1y，112ynYygyfydy；两边关于y求导，即有：12nYnygyfy；从而，12ngyyn，即有：11,..2nE