马昌凤课后习题答案

孙敏数学与统计学院第一章最优化理论基础1、验证下列集合是凸集：(1)}.12,12|),{(212121xxxxxxS(2)}.1|),{(222121xxxxS(3)}.|),{(1221xxxxS证（1）对集合S中任意两点)2(2)2(1)2()1(2)1(1)1(,xxxxxx及每个数]1,0[，有.)1()1()1)2(2)1(2)2(1)1(1)2()1(xxxxxx（由题设，有.1)1(])[1)(])1([])1([,1)1(]2)[1)2(])1([2])1([)2(2)2(1)1(2)1(1)2(2)1(2)2(1)1(1)2(2)2(1)1(2)1(1)2(2)1(2)2(1)1(1xxxxxxxxxxxxxxxx（（因此，Sxx)2()1()1（，故S是凸集。（2）对集合S中任意两点)2(2)2(1)2()1(2)1(1)1(,xxxxxx及每个数]1,0[，有.)1()1()1)2(2)1(2)2(1)1(1)2()1(xxxxxx（由题设，有.1)1(2)1()]()()())[(1()1(]22)[1(])()[()1(])()[()()1()1(2)()()1()1(2)(])1([])1([22)2(22)1(22)2(12)1(122)2(2)1(2)2(1)1(12)2(22)2(122)1(22)1(122)2(22)2(2)1(22)1(222)2(12)2(1)1(12)1(122)2(2)1(22)2(1)1(1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx孙敏数学与统计学院因此，Sxx)2()1()1（，故S是凸集。（3）对集合S中任意两点)2(2)2(1)2()1(2)1(1)1(,xxxxxx及每个数]1,0[，有.)1()1()1)2(2)1(2)2(1)1(1)2()1(xxxxxx（由题设，有.|)1(|||)1(||)1)2(2)1(2)2(2)1(2)2(1)1(1xxxxxx（因此，Sxx)2()1()1（，故S是凸集。2、判断下列函数为凸(凹)函数或是严格凸(凹)函数：（1）.2)(2221xxxf（2）.6-3)(222121xxxxxf（3）.322-)(21222121xxxxxxxf（4）.322)(313121232221xxxxxxxxxxf答（1）函数)(xf的Hesse矩阵是.4002)(2xf显然2()fx是正定矩阵，因此)(xf是一个严格凸函数。（2）函数)(xf的Hesse矩阵是266().62fx显然2()fx是不定矩阵，因此)(xf不是凸函数。（3）函数)(xf的Hesse矩阵是222().22fx孙敏数学与统计学院显然2()fx是半正定矩阵，因此)(xf是一个凸函数。（4）函数)(xf的Hesse矩阵是241/23/2()1/220.3/206fx显然2()fx是正定矩阵，因此)(xf是一个严格凸函数。3.证明xbAxxxfTT21)(是严格凸函数当且仅当Hesse矩阵A正定。证：先证必要性。设xbAxxxfTT21)(是严格凸函数。根据一阶充要条件，对任意非零向量x及0x。令Rrxxrx,ˆ，有.ˆ)0()0()ˆ(xffxfT将)ˆ(xf在0x处展开，有).ˆ(ˆ)0(ˆ21ˆ)0()0()ˆ(22xoxfxxffxfTT由上面两个式子得.0)ˆ(ˆ)0(ˆ2122xoxfxT由于)(xf是二次函数，所以.)0(2Af于是.0)ˆ(ˆˆ212xoxAxT将Rrxxrx,ˆ代入上式，得孙敏数学与统计学院.0)(222roAxxrT即.0)(222rroAxxT令0r，得0AxxT，于是矩阵A正定。再证充分性。设A正定，对任意两个不同点x及x，根据中值定理，有).()()()()(21)()()())(ˆ()(21)()()()(2xxxfxfxxAxxxxxfxfxxxfxxxxxfxfxfTTTTT于是根据凸函数的一阶充要条件得，xbAxxxfTT21)(是严格凸函数。4.设)(xf是定义在nR上的函数，如果对每一点nRx及正数t均有)()(xtftxf，则称)(xf为正齐次函数。证明nR上的正齐次函数)(xf为凸函数的充要条件是，对任何nRxx)2()1(,，有).()()()2()1()2()1(xfxfxxf证：先证必要性。设正齐次函数)(xf为凸函数，则对任意两点nRxx)2()1(,，必有).(21)(212121)2()1()2()1(xfxfxxf由)(xf为正齐次函数，有)).()((212121)2()1()2()1(xfxfxxf代入前式得).(21)(2121)2()1()2()1(xfxfxxf即孙敏数学与统计学院).()()2()1()2()1(xfxfxxf再证充分性。设正齐次函数)(xf对任意两点nRxx)2()1(,，有).()()2()1()2()1(xfxfxxf对每个数)1,0(，有).()1()())1(()()1()2()1()2()1()2()1(xfxfxfxfxxf因此)(xf为凸函数。5.设)(xf:RR3定义为432431221)2()(2)3()(xxxxxxxf。证明Tx)0,0,0(*是)(xf的稳定点，并且*x是)(xf在3R上的严格全局极小点。证明：函数)(xf的梯度是31213312233313232+6+8(-)()6+18+4(-2).-8(-)-8*(-2)xxxxfxxxxxxxxx于是0(*)0.0fx所以Tx)0,0,0(*是)(xf的稳定点。对于任意的3Rx，且*xx，显然有，*).(0)(xfxf因此*x是)(xf在3R上的全局极小点。假设.0)(xf显然有.02,0,03323121xxxxxx由此得.0321xxx于是*xx，这与*xx矛盾。因此对于任意的3Rx，且*xx，有，*).()(xfxf因此*x是)(xf在3R上的严格全局极小点。孙敏数学与统计学院6.设)(xf:RRn是凸函数，mnmRxx,,,,,1)()1(是非负实数且11m。证明)()()()()1(1)()1(1mmmmxfxfxxf。(Jensen’s不等式)证明：利用数学归纳法。当1m时，显然成立。假设当1km时命题成立，下证当km时命题也成立。于是),()()()()()()())()()1(1)1(1)()1(111)1(11111)()1(111)1(11111)()1(111)1(11111)()1(1)1(1kkkkkkkkiikkiikiikkkkiikkiikiikkkkiikkiikiikkkkxfxfxfxfxfxfxfxxfxxxfxxxf其中第一个不等式是由)(xf是凸函数得到的，第二个不等式是根据归纳假设得到的。7.设gf,都是nR上的凸函数，证明gf及},max{gf也是凸函数。证明：对于任意的]1,0[,,nRyx，由gf,都是nR上的凸函数得).()1()())1((),()1()())1((ygxgyxgyfxfyxf于是).)()(1())(())()()(1())()(()()1()()()1()())1(())1(())1()((ygfxgfygyfxgxfygxgyfxfyxgyxfyxgf因此gf是凸函数。令},max{gfh，则孙敏数学与统计学院),()1()()}(,max{)1()}(,max{|})(||,)(max{|)1(|})(||,)(max{||})(|)1(|,)(|)1max{(|})(||,)(|max{|})(|)1(|)(||,)(|)1(|)(|max{}))1((,))1((max{))1(}(,max{))1((yhxhygfxgfygyfxgxfygyfxgxfygxgyfxfyxgyxfyxgfyxh第二个不等式是根据最大化函数的如下性质得到的：.maxmax}{maxiiiiiiibaba因此},max{gf是凸函数。8.设31222131)(xxxxf，证明)(xf有严格局部极小点T)0,0(和鞍点T)0,2(。证明：令TTxx)0,2(,)0,0()2()1(。函数)(xf的梯度是21122().2xxfxx于是(1)(2)0()().0fxfx因此)2()1(,xx都是)(xf的稳定点。又(1)(2)2()0,().3fxfx函数)(xf的Hesse矩阵是12220().02xfx于是2(1)2(2)2020(),().0202fxfx由2(1)()fx的正定性（数学分析多元函数极值的充分条件02,042AACB）及最值的充分条件得，T)0,0(是)(xf的严格局部极小点。由数学分析多元函数极值的充分孙敏数学与统计学院条件042ACB知，T)0,2(不是)(xf的极值点，即是)(xf的鞍点。9.设三个序列2ln21,,21kzeyxkkkkkk，当k，它们均收敛于0。试证}{kx二阶收敛，}{ky超线性收敛，}{kz一阶收敛，并画出三个序列的图形。证明：显然极限.12121limlim222211kkkkkkxx于是}{kx是二阶收敛。又极限.0limlimlimlim)ln)1(ln()1ln(ln)1ln()1(ln)1ln()1(1kkkkkkkkkkkkkkkkkkeeeeyy于是}{ky是超线性收敛。又极限.1)/11(1lim)1(lim1)1(1limlim222221kkkkkzzkkkkkk因此}{kz是一阶收敛。画图代码：k=1:5;x=(1/2).^(2.^k);y=exp(-k.*log(k));z=1./k.^2;semilogy(k,x,k,y,k,z)legend('x_k','y_k','z_k')图形：孙敏数学与统计学院10.设222121)(210),(xxxxf，},11,111|),{(2121xxxxS),(21xxf是否