数学建模-公司投资问题

公司最优投资方案的数学模型摘要本文解决的是某公司在未来5年内最优的投资方案问题，通过对该公司财务分析人员提供的数据（附录一到四）的统计分析，我们建立了三个最优化模型。对于问题一，在考虑该公司现有资本及收益的情况下，以第五年末所得利润的最大值作为目标函数，以每年的投资上限和各项目投资方式限制作为约束条件，建立了单目标最优化模型。然后利用Lingo编程求得该公司在第五年末可以获利润17.41405亿元，5年内最佳的投资方案如下表：项目12345678第1年5.1545453.003.8454553.003.002.0000第2年00003.002.004.000第3年0000.6168183.002.0003.00第4年00.354.003.000000第5年5.5218593.00000000对于问题二，通过使用EXCEL软件对历年数据进行分析后发现其波动都很大，我们采用将灰色预测和时间序列模型的二次指数平滑法组合的预测方式进行预测，预测了今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率，运用Matlab编程求出到期利润率，并利用Excel求出风险损失率，其具体结果见表十、十一和十二。对于问题三，结合问题二的预测结果，考虑该公司争取到的资金捐赠，建立了与问题一相同的目标函数，即第五年末所得利润的最大值，改变了约束条件。然后利用Lingo编程求得该公司在第五年末可以获利润38.1238亿元，最佳的投资方案见表十三。对于问题四，建立了与问题三相同的模型，即目标函数相同。问题四是在问题三的基础上考虑了风险投资率，即增加了约束条件。依照该模型求得该公司在第五年末可以获利润13.2814亿元，最佳的投资方案见表十四。对于问题五，根据题目要求，采用同样的思想建立模型五，以第五年末还贷款后回收的总金额（包括投资本利和，存款本金及利息）作为目标函数，建立新的约束条件（考虑投资风险率）。利用Lingo求得该公司在第五年末可以获利润33.9814亿元，最佳的投资方案见表十五。关键词：单目标最优化灰色预测模型二次指数平滑法组合预测1.问题重述1.1问题背景某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。在本文中，我们考虑提出该公司最优的投资方案。该公司的财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据时发现，在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。而在未来5年的投资计划中，还包含了对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资；项目5的投资额固定为500万，可重复投资以及各投资项目都有投资上限（见附录四）的情况。1.2需要解决的问题问题一：根据附录一给出的数据，确定五年内如何安排该公司的投资计划，并使得第五年末所得利润最大。问题二：根据附录二和三提供的数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。问题三：考虑到未来5年的投资计划中的其他情况，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资并使得第五年末所得利润最大。问题四：将投资风险考虑到问题三中的投资问题，又该如何决策。问题五：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策？2.模型的假设与符号说明2.1模型的假设假设一：在投资期内，我们只考虑不可预测因素引起的平均风险损失；假设二：投资项目以及银行的利润率在预测期内是稳定不变的；假设三：附录一中给定的数据真实可靠，具有较好的代表性。假设四：只考虑项目3、4、5、6和5、6、8同时投资时之间存在相互影响，其他情况不做考虑。假设五：当用20亿资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量假设六：银行未来五年内的存款年利润率和贷款年利润率不变2.2符号说明符号符号说明i投资项目，8,7,6,5,4,3,2,1ij投资年份，5,4,3,2,1jijx项目i在第j年初的投资金额ijy项目i在第j年末到期回收的本利（本金和利息的总和）ip项目i的预计到期利润率iu项目i的投资上限jZ第j年末到期回收的本利的总金额jM表示第j年初可用于投资和存款的总金额jT第j年初对所有项目投资的总金额0T公司用于投资的本金（20亿）ijp项目i在第j年投资后到期的预计到期利润率iq项目i的风险损失率ijR项目i在第j年投资的实际利润率jA第j年初投资金额和存款金额的总和jB第j年末还贷款后回收的总金额jC公司第j年存款的金额jD公司第j年贷款的金额3.问题分析此题研究的是某公司未来5年内的投资资金的使用问题，属于经济模型中的决策模型。虽然我们针对问题一、三和四建立的三个单目标最优化模型的目标函数相同，但由于各个项目都有投资要求和回收本利的时间限制，所以对于不同的情况，就具有不同的约束条件。针对问题一，考虑到项目1、2每年初投资，当年年末回收本利；项目3、4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、6每年初投资，第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利作为约束条件，以及初始资金共20亿。以第五年末所得利润最大为目标函数，建立了一个单目标最优化模型。针对问题二，要对各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率进行预测，首先，要求出历年来的各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，然后考虑采用插值拟合对附录二、三的缺省值进行预测，在选择适合本问题精度较高的预测模型，进行对比后，我们采用了综合灰色预测模型和二次指数平滑法的预测方式。对于风险投资率，以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率。针对问题三，在问题一的模型上改变了约束条件，即各项目的投资上限，项目5的投资额固定为500万且可重复投资和资金捐赠问题。结合问题二的预测结果，和问题一相同的目标函数的单目标最优化问题。针对问题四，是在问题三的投资问题上增加了风险投资率。也就是将问题三中的到期利润率换成实际利润率即可求解。即目标函数不变，增加了约束条件的单目标最优化问题。针对问题五，考虑到降低风险投资，该公司决定拿出一部分资金存入银行。为了获得更高的收益，当投资风险率高时，公司应选择在银行存大部分资金，而用小部分资金投资；当投资风险率低时，应选择在银行贷款进行投资。所以，我们以第五年末还贷款后回收的总金额（包括投资本利和，存款本金及利息）最大作为目标函数的单目标最优化模型。4.数据分析4.1数据处理题目附录四中给出了各种投资项目的方案以及投资上限，我们利用Excel软件和Matlab编程对这些数据进行了相关统计分析和处理。首先，我们根据附录二、三求出项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率。其中，)=ijp到期回收利润到期利润率（本金整理求得后的数据见附录五、六（相关程序见附录）。4.2数据预测为方便分析以及组合预测法预测，我们对附录二、三的到期利润率的缺省值进行预测，采用多项式插值拟合的方式。4.2.1多项式插值拟合的建立所谓插值，就是由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值。曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。我们选择项目一历年的到期利润率利用Excel软件对其分析，见下图。可见历年来，项目一的利润率变化波动比较大，同样的操作，发现所有项目的到期利润率波动都比较大。而且经过我们统计分析，这8个项目不管是独立投资还是同时投资时，历年来到期利润率的波动性都比较大。所以，我们采用三次多项式的插值拟合对数据进行预测。通过对每组数据，使用matlab构造解析表达式，再进行预测(相关程序见附录)。在本题中，我们将年份即从1986年开始到2005年之间的时间作为自变量，设为t；到期利润率作为因变量，设为y。其中时间t，从1986年开始，即设为单位1，以此类推。4.2.2预测结果通过插值拟合对各投资项目独立投资和一些项目同时投资时历年的到期利润率的缺省值进行预测的结果记录于下表（具体数据见附录五、六）：表一：各投资项目独立投资时03—05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值）项目1234567803年0.10390.18120.26400.37010.92911.1089.02073.901904年0.19080.18040.31830.41590.870.584211.25561.809005年0.13080.15480.50300.72612.129-0.040513.82411.9558表二：一些同时投资的项目04、05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值）项目同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8345656804年0.47090.47451.04452.30773.0729-0.9029-0.652005年0.16310.72681.42992.77574.1562-1.6356-1.45795.问题一的解答问题一要求确定5年内的投资方案使得第五年末所得利润最大，且属于无风险投资。这是线性规划中的最优解问题。针对问题一，我们建立了模型一。5.1模型一的建立5.1.1确定目标函数该模型是为了解决公司在五年内如何安排投资和在第五年末所获得的最大利润。为解决此问题，我们将公司在第五年末所得利润的最大值作为目标函数。该公司第一年年初只能对前六个项目（项目1，项目2项目6）进行投资，且6个投资项目预计到期利润率都大于0（见附录一），所以第一年20亿全用于投资。当第一年年末将本金和利息都回收后再在第二年利用该资金对一部分项目进行再次投资即可，所以建立了如下的目标函数（第五年末所得利润值）：20max5Zw5.1.2确定约束条件（1）对于这8个项目，每年年初该公司的投资金额应不大于其各自的投资上限（见附录一），即：0ijixu（2）每年年初总投资金额应不大于所有可投资的金额（前一年回收的本金利润和），即：81ijjixZ其中，第一年的总投资金额不应大于20亿，则jZ为：8,1120,1,2,3,4,5jijijZyj注：1Z=20亿元表示第一年年初可用于投资的总金额（3）对于项目1，2，每年初投资，当年年末回收本利；对于项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；对于项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利；则：5,4,3,2,18,7,2,1),1(jipxyiijij特别地，5,4,2,1,05,4,3,1,087jxjxjj（4）对于项目3，4，每年年初投资，第二年末回收本利，则：,1(1)ijijiyxp，3,4i，2,3,4,5j（5）对于项目5，6每年年初投资，第三年末回收本利，则：,2(1)ijijiyxp，5,6i，3,4,5j综合（1）、（2）、（3）、（4）和（5）可得到，问题一的约束条件。5.1.3综上所述，得到问题一的单目标最优化模型20max5Zw818,1178,1,2020,1,2,3,4,5..0,1,3,4,50,1,2,4,5(1),1,2,7,8,1,2,3,4,5(1),3,4,2,3,4,5(1),5,6,3,4,5ijiijjijijijjijiijijiijixuxZjZyjstxjxjxpijyxpijxpij