大一下高数下册知识点

1高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量线性运算定理1：设向量a≠0，则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ，使b＝λa1、线性运算：加减法、数乘；2、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa，),,(zyxbbbb；则),,(zzyyxxbabababa,),,(zyxaaaa；4、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222zyxr；2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,4）方向余弦：rzryrxcos,cos,cos1coscoscos2225）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积：cosbaba1）2aaa2）ba0ba2zzyyxxbabababa2、向量积：bac大小：sinba，方向：cba,,符合右手规则1）0aa2）ba//0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：0),,(:zyxfS2、旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf绕z轴旋转一周：0),(22zyxf3、柱面：0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面4、二次曲面31）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3）单叶双曲面：1222222czbyax4）双叶双曲面：1222222czbyax5）椭圆抛物面：zbyax22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax22227）椭圆柱面：12222byax8）双曲柱面：12222byax9）抛物柱面：ayx2（四）空间曲线及其方程1、一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF42、参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos3、空间曲线在坐标面上的投影0),,(0),,(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH（五）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21//212121CCBBAA4、点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（六）空间直线及其方程51、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx3、参数式方程：ptzzntyymtxx0004、两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21//LL212121ppnnmm5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAmLpCnBmA第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：（1）定义：设n维空间内的点集D是R2的一个非空子集，称映6射f：D→R为定义在D上的n元函数。当n≥2时，称为多元函数。记为U=f（x1，x2，…，xn），（x1，x2，…，xn）∈D。3、二次函数的几何意义：由点集D所形成的一张曲面。如z=ax+by+c的图形为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。4、极限：（1）定义：设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D的聚点D,如果存在函数A对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf(p)-AⅠ=Ⅰf(x,y)-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限，记作Ayxfyxyx),(lim),(),(00多元函数的连续性与不连续的定义5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：（1）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；（2）在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。6、偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y的偏增量)如果△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作7xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000007、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxy(x,y)和fyx(x,y)在D内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。8、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。9、全微分：如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量△z=f(x△x，y△y)-f(x,y)可以表示为△z=A△x+B△y+o(ρ)，其中A、B不依赖于△x,△y，仅与x,y有关，当Ρ→0，此时称函数z=f(x,y)在点（x，y）处可微分，A△x+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dddzzzxyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法则z偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122348若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则vyzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，①若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；②若02BAC，函数没有极值；③若02BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值令：),(),(),(yxyxfyxL———Lagrange函数解方程组0),(00yxLLyx2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的9切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章重积分（一）二重积分1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyydycyxyyxD)()(),(21，1021()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx2）极坐标)()(),(21D21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf（二）三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(2、性质：3、计算：1）直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(-------------“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(-------------“先二后一”2）柱面坐标zzyxsincos，(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz3）球面坐标11cossinsincossinrzryrx2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrr（三）应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu交错级数：1)1(nnnu，0nu2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散3）绝对收敛：1nnu收敛，则1nnu绝对收敛；12条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散，则1nnu条件收敛。定理：若级数1nnu绝对收敛，则1nnu必定收敛。2、性质：1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；2）级数1nna与1nnb分别收敛于和s与σ，，则1)(nnnba收敛且，其和为s+σ3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。5）必要条件：级数1nnu收敛即0limnnu.3、审敛法正项级数：1nnu，0nu1）定义：SSnnlim存在；2）1nnu收敛nS有界；3）比较审敛法：1nnu，1nnv为正项级数，且),3,2,1(nvunn若1nnv收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nnv发散.4）比较法的推论：1nnu，1nnv为正项级数，若存在正整数m，当mn时，nnkvu，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若存在正整数m，