08级高数(下)试题及答案

1南昌大学2008～2009学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空3分，共15分)1.已知向量1,1,4a,3,4,0b,则以a,b为边的平行四边形的面积等于.2.曲面sincoszxy在点1,,442处的切平面方程是.3.交换积分次序220,xdxfxydy.4.对于级数11nna（a＞0），当a满足条件时收敛.5.函数12yx展开成x的幂级数为.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.平面20xz的位置是（）（A）通过y轴（B）通过x轴（C）垂直于y轴（D）平行于xoz平面2.函数,zfxy在点00,xy处具有偏导数00,xfxy，00,yfxy,是函数在该点可微分的（）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3.设cossinxzeyxy，则10xydz（）（A）e（B）()edxdy（C）1()edxdy（D）()xedxdy4.若级数11nnnax在1x处收敛，2则此级数在2x处（）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5.微分方程yxyx的通解是（）（A）2121xye（B）2121xye（C）212xyCe（D）2121xyCe三、(本题满分8分)设平面通过点3,1,2，而且通过直线43521xyz，求该平面方程．四、(本题满分8分)设,zfxyxy，其中,fuv具有二阶连续偏导数，试求zx和2zxy．五、(本题满分8分)计算三重积分zdxdydz，其中,,01,11,12xyzxyz．六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分22xyLeds，其中L是圆周222xyR在第一象限的部分．七、(本题满分9分)计算曲面积分3xdydzzdzdxdxdy，其中是柱面221xy与平面0z和1z所围成的边界曲面外侧．八、(本题满分9分)求幂级数11nnnx的收敛域及和函数．3九、(本题满分9分)求微分方程4xyye的通解．十、(本题满分11分)设L是上半平面0y内的有向分段光滑曲线，其起点为1,2，终点为2,3，记2221LxIxydxxydyyy1．证明曲线积分I与路径L无关；2．求I的值．南昌大学2008～2009学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空3分，共15分)1.已知向量1,1,4a,3,4,0b,则以a,b为边的平行四边形的面积等于449.2.曲面sincoszxy在点1,,442处的切平面方程是210xyz.3.交换积分次序220,xdxfxydy200,ydyfxydx.4.对于级数11nna（a＞0），当a满足条件1a时收敛.5.函数12yx展开成x的幂级数为10222nnnxx.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.平面20xz的位置是（A）4（A）通过y轴（B）通过x轴（C）垂直于y轴（D）平行于xoz平面2.函数,zfxy在点00,xy处具有偏导数00,xfxy，00,yfxy,是函数在该点可微分的（C）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3.设cossinxzeyxy，则10xydz（B）（A）e（B）()edxdy（C）1()edxdy（D）()xedxdy4.若级数11nnnax在1x处收敛，则此级数在2x处（D）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5.微分方程yxyx的通解是（D）（A）2121xye（B）2121xye（C）212xyCe（D）2121xyCe三、(本题满分8分)设平面通过点3,1,2，而且通过直线43521xyz，求该平面方程．解:由于平面通过点3,1,2A及直线上的点4,3,0B，因而向量1,4,2AB平行于该平面。5该平面的法向量为:(5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).n则平面方程为:8(4)9(3)22(0)0.xyz或：8(3)9(1)22(2)0.xyz即：8922590.xyz四、(本题满分8分)设,zfxyxy，其中,fuv具有二阶连续偏导数，试求zx和2zxy．解:12zfyfx,212zfyfxyy111212122fxfyffxf1112122xyfxyfff五、(本题满分8分)计算三重积分zdxdydz，其中,,01,11,12xyzxyz．解:2211201111232zzdxdydzdxdyzdz六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分22xyLeds，其中L是圆周222xyR在第一象限的部分．解法一:22xyLeds2200RearcsinRe2RRRRRRxedxRRx6解法二:22xyLedsRRLedseL（L的弧长）Re2R解法三:令cosxR，sinyR，02，22xyLeds20Re2RReRd七、(本题满分9分)计算曲面积分3xdydzzdzdxdxdy，其中是柱面221xy与平面0z和1z所围成的边界曲面外侧．解:Px,Qz,3R,由高斯公式：3xdydzzdzdxdxdyPQRdvdvxyz八、(本题满分9分)求幂级数11nnnx的收敛域及和函数．解:收敛半径：1lim1nnnaRa易判断当1x时，原级数发散。于是收敛域为1,171211111nnnnxsxnxxxx九、(本题满分9分)求微分方程4xyye的通解．解:特征方程为：240r特征根为：2r,2r40yy的通解为：2212xxYCeCe设原方程的一个特解为：xyAe,4xxAAee31A13A原方程的一个特解为：13xye故原方程的一个通解为：221213xxxyYyCeCee十、(本题满分11分)设L是上半平面0y内的有向分段光滑曲线，其起点为1,2，终点为2,3，记2221LxIxydxxydyyy1．证明曲线积分I与路径L无关；2．求I的值．证明1:因为上半平面G是单连通域，在G内：21,Pxyxyy，22,xQxyxyy有连续偏导数，且：8212Pxyyy，212Qxyxy，PQyx。所以曲线积分I与路径L无关。解2:设1,2A，2,3B，2,2C，由于曲线积分I与路径L无关，故可取折线路径：ACB。2221LxIxydxxydyyy2221ACxxydxxydyyy2221CBxxydxxydyyy2321212974426xdxydyy