统测：4

第四章差异量由于实际变量具有变异性，因此除了计算集中程度外，还要了解数据的离散程度。例如对10名男生和10名女生进行的一项智力测验，结果如下：男生最低77，最高136；女生最低86，最高119。可算得男生的平均智商为100，女生的平均智商也是100，即如果仅从算术平均数来看，两组数据是没有差异的。仔细分析会发现：男女生的智力分布是很不同的。男生差异大，数据很分散；女生相反。为了了解数据的全貌，本章学习计算离散程度的统计量，即差异量——表示一组数据变异程度或离散程度的量称为差异量。请大家看下面这张图，这是A、B、C三个平行班在某次数学考试上的得分情况。三个班的平均数差别不大，而各班的离散程度却有很明显的不同。在这三个班中，B班的分数分布（高、狭）（高狭峰）范围最窄，最整齐；C班的分数分布（平、宽）范围最广，变异最大。这是用图所进行的直观分析和判断。若用一个统计量概括地说明数据的变异程度或离散程度的特征，这个统计量就是差异量。ABC差异量和集中量的比较联系：都是一组数据的特征量，区别：从不同角度来反映数据的特征。1.集中量如果在数轴上表示，它是一个点，而差异量则可表示为一段距离。2.这段距离越宽，说明数据的离散程度越大，数据的集中量代表性越差；反之，数据则比较整齐，分布范围比较窄，数据的集中量代表性越好。常用的差异量指标有：1.全距；2.四分位距；3.百分位距；4.平均差；5.方差；6.标准差；7.差异系数。……第一节方差和标准差一、方差和标准差的概念方差也叫变异数（均方），是指离差平方的算术平均数。标准差是指离差平方和平均后的方根。其定义公式为：NXXX22)(NXXX2)(例如：教育学专业99级学生教育测量学学科成绩如下：70，72，72，73，74，78，80，81，82，86，88，88，88，88，88，89，90，90，90，91，92，92，93，94，94，94，96，96，98，98求这些学生分数的方差和标准差。二、方差和标准差的计算方法1.原始数据计算法：NXXX22)(30)83.8698()83.8672()83.8670(222=66.14解：平均数为86.83，NXXX2)(=8.13这些学生分数的方差为66.14，标准差为8.13。222NXNXX22NXNXX另外两个更方便的公式：例如：教育学专业99级学生教育测量学学科成绩如下：70，72，72，73，74，78，80，81，82，86，88，88，88，88，88，89，90，90，90，91，92，92，93，94，94，94，96，96，98，98求这些学生分数的方差和标准差。解：222NXNXX2281852X2605X14.663026053022818522X13.8X如果与公式方法计算出的结果有差异，则这种方法更精确一些。2.频数分布表计算法：X表示各组组中值，f表示各组频数22NfXNfXX222NfXNfXX例子：某研究者对100名小学生进行智商测试，数据经过整理，结果如下，现要计算这100名学生智商的方差和标准差。分数XffXfX280－85－90－95－100－105－110－115—120－125－82.587.592.597.5102.5107.5112.5117.5122.5127.538122124149432247.5700.01110.02047.52460.01505.01012.5470.0367.525520418.7561250.00102675.00199631.25252150.00161787.50113906.2555225.0045018.7532512.50总和100101751044575.0解：根据表中的数据，222)(NfXNfXX69.92)10010175(1001044575263.922）（NXNXX第二节相对差异量一、概念带有与原观察值相同单位的名数，称为绝对差异量。如前面所学的全距、四分位距、平均差及标准差等。这些差异量对两种单位不同，或单位相同而两个平均数相差较大的资料，都无法比较差异的大小。如比较身高和体重的离散程度。这时就需要用相对差异量（即差异系数）进行比较。所谓差异系数是指标准差与其算术平均数的百分比。CV表示差异系数XX表示标准差表示算术平均数100%XσCVX二、应用1.用来比较单位不同的数据例如：某小学的学生平均体重为25公斤，体重的标准差为3.7公斤，平均身高为110厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散程度哪个大？%100XCVX解：%8.14%100257.3CV%64.5%1001102.6CV体重身高体重比身高的离散程度要大2.比较单位虽然相同但平均数相差较大的两组资料的差异程度例如某个小学，一年级和五年级的学生都参加了同一个测验，一年级的平均分为60分，标准差4.02分，五年级的平均分为80分，标准差是6.04分。试比较一年级和五年级学生测验成绩的离散程度。%100XCVX解：%7.6%1006002.4CV%55.7%1008004.6CV一年级五年级五年级比一年级的成绩离散程度要大3.可判断平均数与标准差的值是否计算有误一般CV值常在5%—35%之间。如果计算的CV值大于35%时，可怀疑求得的平均数是否失去了意义；如果CV小于5%时，可怀疑平均数与标准差是否计算有误。三、差异系数的应用条件：主要用于等比量表的数据。即既具有等距的单位，有具有绝对的零点。一、四分位距：以一定顺序排列的一组数据中间部位50%个频数距离的一半作为差异量指标。213QQQDQD3Q1Q表示四分位距表示第三个四分位距（第75%百分位数）表示第一个四分位距（第25%百分位数）第三节四分位距、百分位距70，72，72，73，74，78，80，81，82，86，88，88，88，88，88，89，90，90，90，91，92，92，93，94，94，94，96，96，98，981．原始数据计算法教育学专业99级学生教育测量学成绩如下：问教育测量学成绩的四分位距是多少。70，72，72，73，74，78，80，81，82，86，88，88，88，88，88，89，90，90，90，91，92，92，93，94，94，94，96，96，98，98Q1=81,Q3=93解：根据排列后的数据得到Q1=81,Q3=93628193213QQQD答：99级教育学专业教育测量学成绩的四分位距为6。2．频数分布表计算法公式：11)4(11QQfinNLQ323)43(3QQfinNLQ213QQQD如：有研究者对100名小学生进行了智商测试。数据经过整理结果如下：分数Xf累积频数80－85－90－95－100－105－110－115—120－125－82.587.592.597.5102.5107.5112.5117.5122.5127.53812212414943231123446882919598100总和100现在要计算这100名学生智商的四分位距。首先确定第一和第三个四分位数所在组;然后把所要求的数据都写下来；而后把这些数据代入公式，得第一个四分位数和第三个四分位数；最后把两个四分位数代入公式，从而求得四分位距。2．百分位距：百分位距是指两个百分位数之差。常用的百分位距有两种：一为第90与第10百分位数之差，表示为1090PP一为第93与第7百分位数之差，表示为793PP21ppPP例：某研究者对100名小学生进行智商测试，数据经过整理，结果如下，现要计算这100名学生智商的1090PP793PP分数Xf累积频数80－85－90－95－100－105－110－115—120－125－82.587.592.597.5102.5107.5112.5117.5122.5127.53812212414943231123446882919598100总和100解：根据百分位数的计算公式：pppfinpNLP)(1计算得44.11495)8210090.011090（P38.8985)310010.08510（P50.11745)9110093.011593（P50.8785)310007.0857（P所以，06.2550.8944.1141090PP00.3050.8750.117793PP