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1第五章概率及概率分布第一节概率的概念一、概率的定义1.什么是后验概率（1）随机现象（2）随机事件（3）频数（4）频率（相对频数,在0到1之间）nmWA)(2在体育课上，老师想考查学生的投篮水平，让学生站在距篮板一定的距离投十个球。假定投了十次，进了六个。那么把球投进篮筐这个随机事件发生的频率为多少？解：nmWA)(60.01063在某项实验中，研究者测查了100个学生，其中得85分的有3个，现在考查的85分这个随机事件出现的频率。解：nmWA)(03.01003答：85分发生的频率是0.03。4（5）后验概率以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件A概率的估计值，这样寻得的概率称为后验概率。nmPA)(5投10次时频率是0.60，现在老师让学生投100次，结果进了55次。这时频率又变成0.55。假如老师又让这个学生投1000次，结果投进500次，这时频率又变成0.50。……假定这个频率逐渐稳定在0.51。这时0.51就是这位学生投篮概率的估计值。通过这种方法求得的概率，称为后验概率。6抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是多少？先抛掷一次结果正面朝上，这时频率是1/1，即1；第二次试验，结果正面朝下，这时频率变为1/2，即0.50；再抛一次，结果正面朝上，频率变为2/3，即0.67；第四次抛，正面朝下，频率变为2/4，即0.50；再抛，结果朝下，这时频率变为2/5，即0.40；……最后这个频率逐渐接近于0.50，这时就可说硬币正面朝上的后验概率为0.50。后验概率即为频率的稳定性。72.先验概率。又叫古典概率，用数学的分析方法进行计算得到的概率。需满足两个条件：试验的所有结果是有限的；每一种可能结果出现的可能性相等。若所有可能结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果，则随机事件A出现的概率计算公式为nmPA)(8例如：抛掷一枚硬币，考察其正面朝上的概率。首先，看是否符合先验概率计算所要求的两个条件。抛掷一枚硬币只有两种可能，即n=2;朝上朝下的频率相等。nmPA)(解：50.021答：正面朝上的概率为0.50。9有一副新买来的扑克牌，从中抽一张，问抽到红桃的概率是多少？抽到老K的概率是多少？抽到大王的概率是多少？nmPA)(解：（1）13/54=0.2407；（2）4/54=0.0741；（3）1/54=0.0185答：抽到红桃的概率是0.2407，抽到老K的概率是0.0741，抽到大王的概率是0.0185。10又如：某班有45人，其中男生25人，女生20人，现随机抽一个学生，问抽到女生的概率是多少？解：nmPA)(44.04520答：抽到女生的概率0.44。11二、概率的性质1.任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数；2.不可能事件的概率等于0；3.必然事件的概率等于1。12三、概率的加法和乘法1、概率的加法在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。AB)()()(BABAPPP13例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50，问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少。解：150.050.0)()()(BABAPPP答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。14例如：某商场为了搞促销，特印制了1000张奖券。该商场规定，凡购买商品在50元以上的可以获得一张奖券。顾客拿到这张奖券可以参加抽奖。奖品分为三级：一等奖2名微波炉二等奖5名自行车三等奖993名塑料盆现在问拿到一张奖券后参加抽奖，获得一、二、三等奖的概率各是多少？获奖的概率又是多少？15解：002.010002)1(nmP同理得005.0)2(P993.0)3(P1)3()2()1(PPP)()()()(CPBPAPCBAP16在学校里，有的老师喜欢用口试，假设这位老师共编了5个试题，每个学生只能抽到1道题，现在请问学生抽到第3题或第5题的概率是多少。解：)()()(BABAPPP40.05151)5()3(PP答：学生抽到第3题或第5题的概率是0.40。172.概率的乘法A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独立事件。两个独立事件的概率等于这两个事件概率的积,表示两个事件同时出现的概率。)()()(BABAPPPAB18有红、绿、兰3个球放在一个布袋子里，在一次抽取中，摸到红、绿、兰各种颜色的球的概率各为1/3。现在让抽取了一次后，把球放回去再抽取一次，问两次都摸着红球的概率是多少？若每次摸完球后都放回去，那么连续四次都摸到红球的概率是多少？191111.0913131)1()(BAP0123.081131313131)2()(DCBAP解：答：两次都摸着红球的概率是0.1111；连续四次都摸到红球的概率是0.0123。20在学校里，有的老师喜欢用口试，假设这位老师共编了5个试题，每个学生只能抽到1道题，现在请问两个学生同时抽到第1题的概率是多少。04.02515151)(BAP答：两个学生同时抽到第1题的概率是0.04。21有限个独立事件积的概率，等于这些事件概率的乘积。用公式表示为：)()()()(2121nnAAAAAAPPPP如：在学校里，有的老师喜欢用口试，假设这位老师共编了5个试题，全班每个学生只能抽到1道题，现在请问五个学生同时抽到第1题的概率是多少。22解：)()()()(2121nnAAAAAAPPPP00032.05151515151答：五个学生同时抽到第1题的概率是0.00032。23有一个人同时掷两个骰子，问这个人掷出2点的概率和掷出3点的概率各为多少?24)()()(BABAPPP解：(1)0278.06161(2))()()()()(2211BABABAPPPPP0556.061616161)(BAP答：掷出2点和3点的概率分别为0.0278和0.0556。25概率分布定义：对随机变量各个取值的概率用图表或函数式进行的描述。常用分类有以下三种（1）按照随机变量的性质来分：离散分布和连续分布。（2）按照概率分布的制作方法来分：经验分布和理论分布。（3）按照考查的变量来分：基本随机变量分布和抽样分布。26第二节二项分布一、二项试验凡是满足以下条件的试验称为二项试验：（1）一次试验只有两种可能结果，即成功和失败。（2）各次试验相互独立，可反复进行。（3）各次试验中成功的概率相等。27二、二项分布函数是一种离散型随机变量的概率分布；基本上属于理论分布。定义：用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中成功事件出现不同次数（X=0，1，…，n）的概率分布叫做二项分布。nXqpP)()(qpqpqpPnX1)()()(28例如：一个考生完全凭猜测来回答一道是非题，可能对也可能错，现把猜对的事件称为成功事件，猜对的概率为p，猜错的概率为q。结果有两种，一种是X=0，再一种为X=1。则qpqpqpPnX1)()()(29二项分布的概率函数可写作XnXXnXXnXqpXnXnqpCP)!(!!)(X=0，1，2，…n30三、二项分布图31二项分布图的特点：（1）当p=q时，不管n有多大，二项分布呈对称形。当n很大时，二项分布接近于正态分布。当n趋近于无限大时，正态分布是二项分布的极限。（2）当p不等于q时，且n相当小时，图形呈偏态。但当p小于q且np大于等于5，或者p大于q且nq大于等于5时，二项分布即将出现向正态分布接近的趋势。32四、二项分布的特征当二项分布接近正态分布时，在n次二项试验中成功事件出现的次数的np标准差为：npq平均数为：33假定有10道是非题，有个学生来做，但由于不懂，而完全靠猜测。现在问他猜对9道题和10道题的概率各是多少，至少答对9道题的概率又是多少？分析：根据已知n=10，把每次看作一次试验，猜对时我们就说这次试验成功，猜中9道题，则X=9，现在计算X等于9和10的概率各为多少？五、二项分布的应用34XnXXnXXnXqpXnXnqpCP)!(!!)(解：9109)21()21()!910(!9!1000977.0同理得00098.010P01075.0109PP35男生占2/5的学校中，随机抽6个学生，正好抽到4个男生的概率是多少，至多抽到2个男生的概率是多少？36例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少？37分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的运用条件。解：5.125025.0np06.375.025.050npq50,25.041np答：凭猜测来回答，平均能猜对12.5道题，猜对题目数的标准差为3.06。38概率分布定义：对随机变量各个取值的概率用图表或函数式进行的描述。常用分类有以下三种（1）按照随机变量的性质来分：离散分布和连续分布。（2）按照概率分布的制作方法来分：经验分布和理论分布。（3）按照考查的变量来分：基本随机变量分布和抽样分布。39第三节正态分布正态分布又叫做常态分布，是一种连续型随机变量的概率分布。正态分布形态上很像古代的大钟，中间大两头小，左右最称，所以有人把它叫钟形分布。与二项分布比较：①同：正态分布也是一个理论分布，有函数式。②异：正态分布是连续分布，而二项分布是离散形的。其函数式也不同。P=Q,N无限大,二项分布类似正态分布。40一、正态分布的特征（一）正态分布的函数222)(2XeNYY表示变量X的高度X表示连续变量的任何一点N表示总频数表示此分布的标准差表示平均数e表示常数2.7182841（二）正态分布的特点1.曲线的最高点在Z=0处。2.曲线以Z=0处为中心，双侧对称，它的对称轴是过平均数点的垂线。3.曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永远不与基线相交。4.标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。4243例如：某个分布的平均数是86，标准差是10，某个原始分数是80，则这个分数就可以转换为：60.0108680XZ表明这个数据在分布中低于0.6个标准差445.曲线从最高点向左右延伸时，在正负1个标准差之内，既向下又向内弯。6.曲线下方到基线的面积为1。对称轴把面积平分。正负一个标准差之间，包含总面积的68.26%；正负1.96个标准差之间，包含总面积的95%；正负2.58个标准差之间，包含总面积的99%。4546（三）正态曲线表的编制与使用依据正态分布的密度函数，可用积分计算当Z为不同值时，正态曲线下的面积与密度函数值（y值）。2221ZeY471.依据Z分数求概率（面积）（1）某Z分数值与平均数（Z=0）之间的概率。Z=1处到平均数之间的概率为0.34134。Z=1.19？Z=1.81？Z=2.00？Z=2.58？（2）某Z分数以上或以下的概率。如，求Z=1以上的概率是多少？0.5-0.34134=0.15866。Z=2.58以上的概率是多少？（3）两个Z分数之间的概率。如求Z=1至Z=2之间的概率？0.47725-0.34134=0.13595。若Z分数一正一负则要将两个概率值相加。Z=-1.96至Z=1.96之间的概率？0.475+0.475=0.95。482.从概率求Z分数（即从面积求差度）（1）从平均数开始的概率已知，求Z值。已知Z=0以上的面积等于0.30，求所对应的Z值。先查P行，找到0.30，查得Z=0.84。Z=0以上的面积等于0.25647，求所对应的Z值。（2）两端概率的Z值。已知一上尾端面积为0.10，求该面积所对应的Z值。这时要用0.50减0.10，得0.40，然后查表，得Z=1.28。若是下半端则需加上一负号。一上尾端面积为0.20，求该面积所对应的Z值49（3）若已知正态曲线下