哈尔滨工业大学1993年量子力学试题

1993年量子力学考研试题一.设n是粒子数算符aaNˆˆˆ的本征函数，相应之本征值为0n，算符aˆ和aˆ满足对易关系1ˆˆˆˆaaaa。证明：naˆ（其中1n）和naˆ也是Nˆ的本征函数其相应的本征值分别为1n和1n。解：用粒子数算符Nˆ作用到naˆ上，即nannanNananaaanaaanaaanaNˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ上式表明naˆ是Nˆ的本征态，相应的本征值为1n。同样，用粒子数算符Nˆ作用到naˆ上，即nannanNananaaanaaanaaanaNˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ上式表明naˆ也是Nˆ的本征态，相应的本征值为1n。二.（类似2000年第二题）质量为m的粒子在一维势阱axaxVxxV,00,0.0中运动00V，若已知该粒子在此势阱中有一个能量20VE的状态，试确定此势阱的宽度a。解：对于020VE的情况，三个区域中的波函数分别为xBxkxAxxexpsin0321其中，EmVEmk2;)(20在ax处，利用波函数及其一阶导数连续的条件aaaa'3'232得到aBkaAkaBkaAexpcosexpsin于是有kkatan此即能量满足的超越方程。当021VE时，由于1tan000mVmVamV故40namV，,3,2,1n最后，得到势阱的宽度041mVna三.（类似习题选讲5.7）设作一维自由运得粒子0t时处于kxkxAxcossin0,2态上，求0t和0t时粒子动量与动能的平均值。解：由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数xkxk'iexp21'而0t时的波函数xxxxxAkxkxkxkxAkxkxkxkxAkxkxAxkkkk2022222224i2exp2i2expiexp2iexp24iexpiexp21iexpiexpi21cossin0,归一化常数为74A动量的取值几率为1412kpW；144kpW；1440pW动量的平均值为pppWp0动能的平均值为mkpWpmTp74210222因为，动量算符合动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒量，而守恒量的取值几率和平均值不随时间改变，0t时的结果与0t时完全一样。四.（见习题选讲6.3）对于类氢离子的任何一个本征态)(rnlm，利用维里定理、费曼-海尔曼定理计算r1与21r。解：已知类氢离子的能量本征值为1,20222lnnaneZEErnnlm（1）式中，220ea为玻尔半径。由维里定理知VT21（2）总能量rZeVVTEn12212（3）所以，得到,3,2,1,21022nanZZeErn（4）类氢离子的哈密顿算符为rZerllrrH2222222)1(12ˆ（5）将l视为参数，利用费曼-海尔曼定理，得到22121ˆrllHlEn（6）由于，1lnnr（7）所以，0322aneZnElEnn（8）将其代入（6）式，有202322/111aZnlr（9）五.（类似1996年第四题）设两个自旋为21粒子构成的体系，哈密顿量21ˆˆˆssCH，其中，C为常数，1ˆs与2ˆs分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知0t时，粒子1的自旋沿z轴的负方向，粒子2的自旋沿z轴的正方向，求0t时测量粒子1的自旋处于z轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为2221221ˆˆˆ2ˆˆˆsssCssCH选择耦合表象，由于1,0s，故四个基底为111；112；103；004在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即30000100001000014ˆ2CH可以直接写出它的解为214CE，111224CE，112234CE，211032443CE，21004已知0t时，体系处于0010210因为哈密顿算符不显含时间，故0t时刻的波函数为tCtCEEt43iexp214iexp2100iexp10iexp2143粒子1处于z轴负方向的几率为tCtCtCtCtCtttsWz2cos2iexp2iexp2143iexp4iexp21,2222221六．粒子在一维势场xV中运动，非简并能级为,3,2,10nEn，如受到微扰xpWˆˆ的作用，求能量到二级修正，并与精确解比较。解：已知0ˆH满足的本征方程为nEnHn00ˆ由pHxˆˆ,i10可知mnmnmnxEEp00i第k个能级的一级修正为01kkkkkpWE能量的二级修正为2002200000022002iinkknknknnknknkknknknnknkknkxEEEExEExEEEEWWE利用22200nkknknxEE得到2222222kE近似到二级的解为220kkEE精确解可以利用坐标变换确定。体系的哈密顿算符为xxpxVpHˆ2ˆˆ2若令xpPˆˆ则哈密顿算符可以改写为22ˆˆ22xVPH故精确解为220kkEE