信号与系统实验报告——连续时间傅立叶变换

1实验四连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换（CTFT）djXtx)(21)(（4.1）dtetxjXj)()(（4.2）将连续时间傅立叶级数（CTFS）推广到既能对周期连续时间信号，又能对非周期连续时间信号进行频域分析。另外，许多LTI系统的特性行为要比时域容易理解。为了更有效地应用频域方法，重要的是要将信号的时域特性是如何与它的频域特性联系起来的建立直观的认识。本练习就是要对一般的信号帮助建立这一直观性，尤其是在LTI系统的单位冲激响应和频率响应之间建立这一直观性。§4.1连续时间傅立叶变换的数字近似目的将连续时间傅立叶变换进行数字近似，用函数fft（快速傅立叶算法）高效地计算这个近似值。相关知识很多信号都能用（4.1）式连续时间傅立叶变换（CTFT）来表示。利用MATLAB可以计算（CTFT）积分的数值近似。利用在密集的等间隔t的样本上的求和来近似这个积分，就可以用函数fft高效地计算这个近似值。所用的近似式是根据积分的定义得到的，即nnjtjenxdtetx)(lim)(0（4.3）对于一般信号，在足够小的τ下，上式右边的和式是对于CTFT积分的一个好的近似。若信号)(tx对于0t和Tt为零，那么这个近似式就能写成100)()()(NnnjTtjtjenxdtetxdtetx（4.4）式中nT，N为一整数。可以利用函数fft对一组离散的频率k计算上式中的2和式。如果N个样本)(nx是存在向量x内的话，那么调用函数X=tau*fft(x)就可以计算出)()()1(10kNnnjjXenxkXk（4.5）式中1222202NkNNkNkNkk以及N假设为偶数。为了计算高效，fft在负的频率样本之前先产生正频率样本。为了将频率样本置于上升的顺序，能用函数fftshift。为了将存入X中的)(kjX的样本排列成使)1(KX就是对于10Nk，在)2(Nk上求得的CTFT,可用X=fftshift(tau*fft(x))。本练习要用函数fft和截断的)(tx近似tetx2)(的CTFT。将会看到，对于足够小的，对)(jX能计算出一个准确的数字近似。基本题1．求tetx2)(CTFT的解析表达式。可将)(tx看作)()()(tgtgtx，)()(2tuetgt。答：容易求出F(w)=4/(4+w^2)；相位角为02．创建一个向量，它包含了在区间t=[0:tau:T-tau]上（其中01.0和10T），信号)5()(txty的样本。代码：样本图形：301234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91分析：Tau=0.01，T=10，y(t)=x(t-5)=exp(-2*abs(t-5))，向量t=[0,0.01,9.99]，得到向量yt，画出yt如上图。3．键入y=fftshift(tau*fft(y))计算样本)(kjY。因为)(tx对于5t基本上为零，就能近似用TN个样本分析中计算出信号)5()(txty的CTFT。代码：分析：直接输入y=fftshift(tau*fft(y))计算样本)(kjY。对应有1000个值。4．构造一个频率样本向量w，它按照w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau));与存在向量Y中的值相对应。4代码：向量w的图形：01002003004005006007008009001000-400-300-200-1000100200300400分析：得到的1000个w用图形显示出来如上。5．因为)(ty是通过时移与)(tx相联系的，所以CTFT)(jX就以线性相移项5je与)(jY相联系。利用频率向量w直接由Y计算)(jX的样本，并将结果存入x中。代码：5分析：由已有的Y求得X，根据时移特性，X=Y*exp(5jw)。6．利用abs和angle画出在w标定的频率范围内X的幅值和相位。对于相同的值，也画出在1中所导出的)(jX解析式表达式的幅值和相位。CTFT的近似值与解析导得的相符吗?若想在一张对数坐标上画出幅值，可以用semilogy，这是会注意到，在较高的频率上近似不如在较低的频率上好。因为用了样本)(nx近似)(tx，所以在时间段长度内，信号变化不大的那些信号的频率分量近似程度会更好一些。代码：生成图行如下：6-400-300-200-100010020030040000.51-400-300-200-1000100200300400-202x10-12-400-300-200-100010020030040000.51分析：图中第一个和第二个分别为X的幅值和相位，第三个图为在1中所导出的)(jX解析式表达式的幅值，在1中所导出的)(jX解析式表达式的相位为0，比较第一个和第三个图是几乎一样的，第二个图的相位也是在0左右摆动，非常接近0，所以误差范围内CTFT的近似值与解析导得的相符。7．利用abs和angle画出Y的幅值和相位，它们与X的图比较后怎样？能估计到这一结果吗？代码：图形：7-400-300-200-100010020030040000.20.40.60.81-400-300-200-1000100200300400-4-2024分析：与X的图比较后知道他们的幅值谱是一致的，相位谱有区别。根据时移特性可以知道这一结果，时移的结果幅值不变，相位进行相应改变。§4.2连续时间傅立叶变换性质目的这个练习要借助于在频域和时域分析与操作声音信号来加深理解连续时间傅立叶变换CTFT。相关知识在MATLAB中声音信号是用含有连续时间声音信号样本的向量表示的，采样率定为8192Hz，也即声音信号是每隔st)81921(采样一次。更仔细一些，对于一个声音信号)(ty，在tNt0区间上，以8192Hz采样，代表该声音信号的N个元素向量y由下式给出：N,,ntnyty,21))1(()(然后，函数sound能用来在计算机的扬声器上放出该信号。虽然这是一个连续时间声音信号)(ty的采样表示，倘若)(ty在采样区间以8外是零，而且采样率Hzfs8192是足够快的，那么y就能认为是)(ty的一个准确表示。在开始这个练习之前，必须首先装入一个采样的声音信号，这可键入loadsplaty=y(1:8192);为了确认已准确无误地装入了这个声音数据，并证实这个MATLAB向量y能正确地代表一个声音信号，可键入N=8192;fs=8192;sound(y,fs)函数fft取出该已采样的表示y，并在的样本点上计算近似的)(tyCTFT。若键入Y=fftshift(fft(y));那么向量Y就包含了区间ssff上N个等分频率点处)(jY的近似值。事实上，Y包含的仅是)(jcY的近似值，这里c是一个常数，但是不必担心这个近似，或这个加权系数，这仅是为本练习的需要而设定的。有关)(jY和Y之间关系的更为全面的讨论，请参考练习4.1。函数fftshift将fft的输出重新排序，以使得)(jY的样本在Y中的排序是从最负频率到最正的频率。现在，与CTFT有关的大多数性质都能在向量Y上得到证实。基本题1．键入Y=fftshift(fft(y))，计算向量Y的傅立叶变换。键入w=[-pi:2*pi/N:pi-pi/N]*fs;将对应的频率值存入向量w中。利用w和Y在区间ssff内画出该连续时间傅立叶变换的幅值。输入代码如下：9生成幅值图如下：-3-2-10123x1040102030405060分析：定义采样率为8192HZ，利用fft(y)求得幅值Y，画出abs(Y);函数ifft是fft的逆运算。对于偶数长度的向量，fftshift就是它本身的逆。对于向量Y，N=8192，这个逆傅立叶变换能用键入以下命令而求得y=ifft(fftshift(Y));y=real(y);由于原时域信号已知是实的，所以这里用了函数real。然而，在fft和ifft中的数值舍入误差都会在y中引入一个很小的非零虚部分量。一般说来，逆CTFT不必是一个实信号，而虚部可以包含有显著的能量。当已知所得信号一定是实信号时，并且已经证实所除掉的虚部分量是没有意义的，real函数才能用于ifft的输出上102．置Y1=conj(Y)并将Y1的逆傅立叶变换存入Y1中，用real(y1)以确保y1是实的，用sound(y1,fs)将y1放出。已知)(*jY的逆傅立叶变换是如何与)(ty联系的，能解释刚才听到的是什么吗？代码如下：分析：听到的y1声音信号为噗的一声接着另一种吹口哨声音，与听到y的声音信号（吹口哨然后噗）顺序时相反的，所以可以得知)(*jY的逆傅立叶变换y1是y(t)的逆信号。如下图上行一个为y信号，下行一个为y1信号。110100020003000400050006000700080009000-1-0.500.510100020003000400050006000700080009000-1-0.500.51中等题)(ty的CTFT可以用它的幅值和相位写成)()()(jejYjY式中)()(jY。对于许多信号，单独用相位或幅值都能构造出一个有用的信号)(ty的近似。例如，考虑信号)(2ty和)(3ty，其CTFT为)(32)()()(jejYjYjY3．只要)(ty是实信号，用解析方法说明)(2ty和)(3ty一定是实的。答：由时域卷积定理容易知道)(ty=)(2ty*)(3ty(*为卷积)，又由卷积性质容易知道，)(ty为实信号时，)(2ty和)(3ty一定是实的。4．构造一个向量Y2等于Y的幅值，并将Y2的逆傅立叶变换存入向量y2中，用sound放出这个向量。12输入代码如下：分析：听到的声音最前面很高，然后很弱，最后有点中音。y2的信号图如下：0100020003000400050006000700080009000-3-2-1012345675．构造一个向量Y3，它有与Y相同的相位，但是幅值对每个频率都等于1。并将Y3的逆傅立叶变换存入向量y3中，用sound放出这个向量。输入代码如下：13生成的Y3：-3-2-10123x10400.20.40.60.811.21.41.61.82分析：听到的声音只有一声轻轻的噗。y3的图形如下：14010002000300040005000600070008000900000.10.20.30.40.50.60.70.80.916．根据刚才听到的这两个信号，代表一个声音信号你认为傅立叶变换的那个部分是最关键的：幅值或相位？答：幅值最关键，因为比较刚才听到的两个声音信号，y2的声音信号比较多样，y3只有一声轻轻的，y2比y3复杂多了，因为他们仅仅是幅值不同而已，所以幅值最关键。§4.3连续时间傅立叶变换的符号计算目的这个练习要对几个不同的信号求(4.2)连续时间傅立叶变换。基本题1．定义符号表达式x1和x2代表下面连续时间信号：)()()(21)(4221tuetxtuetxtt需要用函数Heavyset来表示单位阶跃函数)(tu。代码：15分析：利用sym()函数定义符号表达式，其中heaviside(t)表示阶跃函数。2．对于1中所定义的)(1tx和)(2tx，用解析方法计算它们的CTFT在0的值，即0)(jX（不应该先求)(jX来作这道题）CTFT在0的值是怎样与时域信号关联的？答：频域与时域的关系F（0）=dtt)(f，X1（0）=dttuet）(212=0221dtet=1/4X2（0）=dttuet)(4=1/43．1所定义的信号中，哪一个在时域衰减得更快？根据这一点，