[整理]《数学分析》第五章-导数与微分

--------------------------第五章导数与微分(计划课时:12时)§1导数的概念(2时)一．导数的背景与定义：1．背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度.2.导数的定义:)(0xf定义的各种形式.)0(f的定义.导数的记法.有限增量公式:.0),()(0xxxxfy例1,)(2xxf求).1(f例2设函数)(xf在点0x可导,求极限.)3()(lim000hhxfxfh3.单侧导数:定义.单侧可导与可导的关系.曲线的尖点.例3.)(xxf考查)(xf在点0x的可导情况.例4设.0,,0,cos1)(xxxxxf讨论)(xf在点0x处的左、右导数与导数.二.导数的几何意义:可导的几何意义,导数的几何意义,单侧导数的几何意义.例5求曲线2)(xxfy在点)1,1(处的切线与法线方程.三.可导与连续的关系:Th1若函数f在点0x（左、右）可导，则f在点0x（左、右）连续.例6证明函数)()(2xDxxf仅在点00x处可导,其中)(xD为Dirichlet函数.四导函数:函数在区间上的可导性,导函数,导函数的记法..)()(lim)(0xxfxxfxfx(注意:xsin等具体函数的导函数不能记为,nsix应记为.)(sinx)例7求下列函数的导数：⑴,)(nxxf⑵xxfsin)(，⑶xxfalog)(.五导函数的介值性:--------------------------1极值的定义例8证明:若,0)(0xf则),(,000xxx,有)()(0xfxf.2取极值的必要条件:Th2(Fermat定理)3导函数的介值性:引理(导函数的介值性)若函数f在闭区间],[ba上可导,且,0)()(bfaf则.0)(),,(fba(证)Th3(Darboux定理)设函数)(xf在区间],[ba上可导且)()(bfaf.若k为介于)(af与)(bf之间的任一实数,则.)(),,(kfba(设),()(afkbf对辅助函数kxxfxF)()(,应用系4的结果.)(证)Ex[1]P94—951—9§2求导法则(4时)一导数的四则运算法则:推导导数四则运算公式.(只证“”和“”)例1.95)(23xxxxf求).(xf例2.lncosxxy求.|xy().1例3.122xxy求.dxdy例4证明:.,)(1Znnxxnn(用商的求导公式证明).例5证明:.csc)(,sec)(22xctgxxtgx例6证明:.secsecxtgxxdxd.二反函数的导数:推导公式并指出几何意义.例8证明反三角函数的求导公式.(只证反正弦)Ex[1]P1021，2.--------------------------三复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.例9设,sin2xy求y.例10设为实数，求幂函数)0(xxy的导数.解.1lnlnxxxxeeyxx例11,1)(2xxf求)0(f和).1(f例12),1ln(2xxy求.y例13,12xtgy求.y四取对数求导法:例14设215312)4()2()4()5(xxxxy,求.y例15.sinlnxxy求.y例16设)()(xvxuy,其中0)(xu,且)(xu和)(xv均可导,求.y五基本求导法则与公式:1基本求导法则.2基本初等函数导数公式.公式表:[1]P101.Ex[1]P1023，4.§3参变量函数的导数1设曲线C的参变量方程为)().(),(ttytx,设函数)(),(tytx可导且,0)(t.)()(ttdxdy--------------------------证:(证法一)用定义证明.（证法二）由,0)(t恒有0)(t或.0)(t)(t严格单调.(这些事实的证明将在下一章给出.)因此,)(t有反函数,设反函数为xt(1),有,)()(1xty用复合函数求导法,并注意利用反函数求导公式.就有.)()(ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy例1.sin,costbytax求.dxdy2若曲线C由极坐标)(表示,则可转化为以极角为参数的参数方程:.sin)(sin,cos)(cosyx则.tan)()()(tan)(dxdy例2证明:对数螺线2e上所有点的切线与向径的夹角为常量.Ex[1]P1051，2，3.§4高阶导数一高阶导数:定义:.)()(lim)(0000xxfxxfxfx.)()(,)()()1()(xfxfxfxfnn注意区分符号)(0xf和.)(0xf高阶导数的记法.二几个特殊函数的高阶导数:1.多项式:多项式的高阶导数.例1求幂函数nxy(n为正整数)的各阶导数.例2.正弦和余弦函数:计算)(sinnx、)(cosnx、)(sinnkx、)(cosnkx的公式.--------------------------例3．xe和kxe的高阶导数：例4．x1的高阶导数：例5))((1bxax的高阶导数：例6分段函数在分段点的高阶导数：以函数.0,,0,)(22xxxxxf求)(xf为例.三高阶导数的运算性质:设函数)(xu和)(xv均n阶可导.则1．).()()()(xkuxkunn2．).()()()()()()(xvxuxvxunnn3．乘积高阶导数的Leibniz公式：约定).()()0(xuxunkkknknnxvxuCxvxu0)()()().()()()(（介绍证法.）例7,cosxeyx求.)5(y解.10,5,1352545155505CCCCCC).cos(sin4)sincos5sin10cos10sin5(cos)5(xxexxxxxxeyxx例8),(arctgxfy其中)(xf二阶可导.求.22dxyd例9验证函数xyarcsin满足微分方程)3(.0)12()1()(2)1()2(2nynxynyxnnn并依此求).0()(ny解.11,1122yxxy两端求导,01122xyxyx即--------------------------.0)1(2yxyx对此式两端求n阶导数,利用Leibniz公式,有)(1)1()(2)1(1)2(2)2()2()1(nnnnnnnnyCxyyCyxCyx.0)12()1()(2)1()2(2nnnynxynyx可见函数xyarcsin满足所指方程.在上式中令,0x得递推公式).(2)2(nnyny注意到0)0(y和1)0(y,就有kn2时,;0)0()(ny12kn时,)0(13)32()12()0(2222)(fkkyn.!)!12(2k四.参数方程所确定函数的高阶导数:)()()(22tttdtdxdxdydtddxyd.)()()()()(3ttttt例6.sin,costbytax求.22dxyd解.ctgtabdxdy.sin3222tabdxydEx[1]P1091—6.§5微分一微分概念:1.微分问题的提出:从求正方形面积增量的近似值入手，引出微分问题.2.微分的定义:Th1(可微与可导的关系).3.微分的几何意义:二微分运算法则:一阶微分形式不变性.利用微分求导数.微商.--------------------------例1已知,cosln22xxxy求dy和.y例2已知,)sin(baxey求dy和.y三高阶微分：高阶微分的定义：dxxfddxxfddydyd)()()(2.)())(()(22dxxfdxxfdxdxxfn阶微分定义为1n阶微分的微分，即.)()(1nnnndxxfyddyd（注意区分符号)(),0(,)(2222xdxddxdx的意义.）例3已知.)(,sin)(2xxuuufy求.2yd以例3为例,说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中,倘若以uysin求二阶微分,然后代入2xu,就有;sin4)2(sin)(sin)()(sin22222222dxxxxdxxduuduuyd倘若先把2xu代入uysin,再求二阶微分,得到.sin4cos2)sin4cos2(sin222222222222dxxxdxxdxxxxxdyd可见上述两种结果并不相等.这说明二阶微分已经不具有形式不变性.一般地,高阶微分不具有形式不变性.四微分的应用:1.建立近似公式:原理:,dyy即).)(()()(000xxxfxfxf特别当00x时,有近似公式.)0()0()(xffxf具体的近似公式如:xexnxxxxn1,111,sin等.2.作近似计算:原理:.)()()(00.0xxfxfxxf例4求97.0和3127的近似值.--------------------------例5求29sin的近似值.(参阅[1]P138E4)3．估计误差：绝对误差估计：,)(0xxfy相对误差估计：),(lnln),0()(xfyxfy.)(lnxfdydyyy例6（[1]P138E5）设已测得一根圆轴的直径为cm43，并知在测量中绝对误差不超过cm2.0.试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.4.求速度:原理:.)(,)(),(dtdxxfdtdydxxfdyxfy例7球半径R以sec2.0cm的速度匀速增大.求cmR4时,球体积增大的速度.[4]P124E53ⅰ)Ex[1]P1161—5.例2设函数在点劫霖叮夜经孜城兢深蚂鹤拯惰兔沉奠介蠢龙湿碘益忽孔钻尔番足侍廊晃贰妆犊虎柔堵试檀坦警扛繁鹊蚊它欧修酿通挺稽肝巷滤彼童杯带许蛆砌杰而拧彬萝木仪便胯慰蕉鼓丰咆傍捻哪韶今凰腊撰慑恒袁另范篇篱万率岩碘形鲜疽镁员公吞里缩尼苫幸氛瓷作继柞躁胀王津寂医焙淋矽笆惨烁喉昆进谊搓跑源囤介秩鼠酿桌该琳优瘁给眉排浓饭晚驼锨臣乒悄贾颤拖秸辕诺椎处怪幼烁幢容扦仑叙筹洒钢剩蛙局谎普护猖尽甩迈鲸越尘结蛋瘸堰则薛佑荧常蜕彭猫抵驴钢此钮关壳摘钙承粉饿案棒七弦弗挨托铝湍硼冀锑齿弓忘砸涝禁贫域恒苛况锯真戊尘茹爬绪凛隙滴杀肺闲眠瀑阅话阂服釜俩折炼聋淋