陕师大《大学物理学》(上册-)习题解答

大学物理学(上册)习题解答陕西师范大学物理学与信息技术学院基础物理教学组2006-6-262006-6-262006-6-262006-6-262第2222章运动学2222－1111一质点作直线运动，其运动方程为222ttx−+=,x以m计，t以s计。试求：（1）质点从t=0到t=3s时间内的位移；（2）质点在t=0到t=3s时间内所通过的路程解（1）t=0时，x0=2；t=3时，x3=－1；所以，m3)0()3(−==−==txtxx∆（2）本题需注意在题设时间内运动方向发生了变化。对x求极值，并令022dd=−=ttx可得t=1s,即质点在t=0到t=1s内沿x正向运动，然后反向运动。分段计算m1011=−===ttxxx∆，m4)1()3(2−==−==txtxx∆路程为m521=+=xxs∆∆2222－2222已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为32262ttx−+=。试求：（1）质点在最初4s内位移；（2）质点在最初4s时间内所通过的路程解（1）t=0时，x0=2；t=4时，x4=－30所以，质点在最初4s内位移的大小m3204−=−=∆xxx（2）由0612dd2=−=tttx可求得在运动中质点改变运动方向的时刻为t1=2s,t2=0(舍去)则m0.8021=−=∆xxx，m40242−=−=∆xxx所以，质点在最初4s时间间隔内的路程为m4821=∆+∆=xxs2222－3333在星际空间飞行的一枚火箭，当它以恒定速率燃烧它的燃料时，其运动方程可表示为)1ln(1bttbuutx−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=，其中m/s100.33×=u是喷出气流相对于火箭体的喷射速度，s/105.73−×=b是与燃烧速率成正比的一个常量。试求：（1）t=0时刻，此火箭的速度和加速度；（2）t=120s时，此火箭的速度和加速度解)1ln(ddbtutxv−−==；btubtva−==1dd（1）t=0时，v=0，233s.m5.221105.7103−−=×××=a（2）t=120s时，)120105.71ln(10333××−×−=−v13s.m91.6−×=2333s.m225120105.71105.7103−−−=××−×××=a32222－4444如图所示，湖中有一只小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h，t=0时，船与滑轮间的绳长为l0。试求：当人以匀速vvvv0拉绳时，船在距岸边x处的速度和加速度。解（1）设任意时刻t，绳长为l，由题意tlvdd0−=；船到岸边的水平距离为x，则22hlx−=小船的运动速度为tlhllhlttxvdddddd2222−=−==022vxhx+−=负号表示小船在水面上向岸靠近。小船的运动速度为)(dddd022vhllttva−−==3202022dd)(ddxvhtlvhlll−=−−=负号表示加速度的方向指向岸边，小船在水面上加速靠岸。2－5一升降机以加速度2sm22.1−⋅上升，当上升速度为1sm44.2−⋅时，有一螺丝从升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距2.74m。计算：（1）螺丝从升降机的天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.解（1）以地面为参考系，取Oy坐标轴向上，升降机的运动方程为20121attvy+=螺丝的运动方程为20221gttvhy−+=当螺丝落至底面时，有y1=y2,即20202121gttvhatty−+=+所以s705.02=+=aght(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为m716.021202=+−=−=gttvyhd2222－6666已知一质点的运动方程为jjjjiiiirrrr)2(22tt−+=(SI)。试求：（1）质点的运动轨迹；（2）t=1s和t=2s时刻，质点的位置矢量；（3）1s末和2s末质点的速度；（4）质点的加速度。解（1）质点在x、y方向运动方程的分量形式为x=2t，y=2－t2消去时间t,可得2412xy−=其运动轨迹为一抛物线vvvvxlvvvv0h4（2）s1=t时jjjjiiiirrrr+=21；s2=t时jjjjiiiirrrr242−=（3）质点运动的速度vvvvjjjjiiiirrrrtt22dd−==s1=t时vvvv1jjjjiiii22−=即m/s221=v，o145−=θ（θ1为vvvv1与x轴的夹角）s2=t时vvvv2jjjjiiii42−=即m/s522=v，6263o2′−=θ（θ2为vvvv2与x轴的夹角）（4）质点运动的加速度jva2dd−==t2222－7777一质点在Oxy平面上运动，其运动方程为jjjjiiiirrrr222)310(tt++=试求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点的速度、加速度。解（1）质点运动方程的分量式为2310tx+=，22ty=消去时间参数t，可得运动的轨迹方程2023−=xy（2）速度vvvvjjjjiiiitt46+=加速度jjjjiiiiaaaa46+=2222－8888一质点在Oxy平面上运动，其运动方程为jjjjiiiirrrr)]1.0cos(1[3)1.0sin(3ttππ−+=试求质点在5s时的速度和加速度。解速度vvvvjjjjiiiirrrr)1.0sin(3.0)1.0cos(3.0ddtttππππ+==加速度()()jjjjiiiirrrraaaa)1.0cos(1.03)1.0sin(1.03dd2222tttππππ+−==t=5s时的速度为jv)sm3.0(1−⋅=π加速度iiiiaaaa)sm03.0(22−⋅−=π2222－9999一质点从坐标原点开始沿抛物线y=0.5x2运动，它在Ox轴上分速度1sm0.4−⋅=xv为一恒量，试求：（1）质点的运动方程；（2）质点位于x=2m处的速度和加速度。解（1）因1sm0.4−⋅=xv为常数，故ax=0。当t=0时，x=0，可得质点在x方向的运动方程为tx4=5又由质点的抛物线方程，有28ty=所以jjjjiiiirrrr284tt+=（2）任意时刻jirvtt164dd+==；jt16dd==va由tx4=和x=2，可得t=0.5s所以，当质点位于x=2.0m时，其速度jiv84+=，加速度jjjjaaaa16=2222－10101010一汽艇以速率0v沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度v成正比且方向相反的加速度kva−=，其中k为常数。试求发动机关闭后，（1）任意时刻t汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距离。解本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。（1）由kvtva−==dd，tkvvtvv∫∫−=00dd得ktvv−=e0（2）因为kvsvvtssvtv−===dddddddd，skvsv∫∫−=00dd0所以ksv=0发动机关闭后汽艇能滑行的距离为kvs/0=2222－11111111一物体沿x轴作直线运动，其加速度为2kva−=，k是常数。在t=0时，0vv=，0=x。试求（1）速率随坐标变化的规律；（2）坐标和速率随时间变化的规律。解本题注意变量变换。（1）因为2ddddddddkvxvvtxxvtva−==⋅==；xkvvxvv∫∫−=0dd0所以kxvv−=e0（2）因为2ddkvtva−==，tkvvtvv∫∫−=02dd0可得100+=ktvvv又因为txvdd=，tktvvtvxttxd1dd00000∫∫∫+==所以)1ln(10+=ktvkx2222－12121212一质点沿x轴作直线运动，其速度大小238tv+=，（SI制）。质点的初始位6置在x轴正方向10m处，试求：（1）s2=t时，质点的加速度；（2）质点的运动方程；（3）第二秒内的平均速度。解根据题意可知，0=t时，10ms8−=v，m100=x（1）质点的加速度ttva6dd==s2=t时，2ms12−=a（2）由tttvxd)38(dd2+==两边积分ttxtxd)38(d0210∫∫+=因此，质点的运动方程为3810ttx++=（3）第二秒内的平均速度为11212s.m15−=−−==ttxxtxv∆∆2222－13131313质点作圆周运动，轨道半径r=0.2m，以角量表示的运动方程为22110ttππθ+=（SI）。试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；（2）第3s末的切向加速度和法向加速度的大小。解（1）因为22110ttππθ+=故ttππθω+==10d/d，πωβ==td/d以t=3s代入，1sadr13−⋅==πω，2srad−⋅=πβ（2）2sm2.0−⋅==πβrat，222sm8.33−⋅==πωran2－14一质点在半径为r=0.10m的圆周上运动，其角位置为342t+=θ。（1）在t=2.0s时，质点的法向加速度和切向加速度各为多少？（2）t为多少时，法向加速度和切向加速度的量值相等？解(1)由于342t+=θ，则212ddtt==θω，tt24dd==ωβ法向加速度42n4.14tra==ω切向加速度trat4.2==βt=2.0s时，2222nsm1030.2−=⋅×==ωrast，22sm8.4dd−=⋅==trasttω（2）要使taa=n,则有trtr24)12(22⋅=所以t=0.55s72222－15151515一汽车发动机曲轴的转速，在12s内由20r/s均匀地增加到45r/s。试求：（1）发动机曲轴转动的角加速度；（2）在这段时间内，曲轴转过的圈数。解（1）由于角速度nπω2=（n为单位时间内的转数），根据角加速度的定义tddωβ=，在匀速转动中角加速度为200srad1.13)(2−⋅=−=−=tnntπωωβ（2）发动机曲轴转过的角度为tnnttt)(2210020+=+=+=πωωβωθ在12s内曲轴转过的圈数为390220=+==tnnNπθ圈2222－16161616某种电机启动后转速随时间变化的关系为)1(20te−−=ωω，式中10srad0.9−⋅=ω。求：（1)t=6s时的转速；(2)角加速度随时间变化的规律；(3)启动后6s内转过的圈数。解(1)根据题意，将t=6s代入，即得1020s6.895.0)e1(−−==−=ωωωt（2）角加速度随时间变化的规律为2220se5.4e2dd−−−===tttωωβ（3）t=6s时转过的角度为rad9.36d)e1(d260060=−==−∫∫tttωωθ则t=6s时电动机转过的圈数87.52==πθN圈2－17半径为r=0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比，在t=2s时，测得轮缘上一点的速度值为1sm0.4−⋅。求：（1）该轮在t′=0.5s的角速度，轮缘上一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2s内所转过的角度。解由题意2kt=ω，因ωR=v,可得比例系数222===rtvtkω所以22)(tt==ωω(1)则t′=0.5s时，角速度为12srad5.02−⋅=′=tω角加速度2srad24dd−⋅=′==ttωβ切向加速度2sm1−⋅==βrat总加速度n2neeeeeeeeaaaaaaaaaaaaωβrrtt+=+=2222sm01.1)()(−⋅=+=ωβrra8(2)在2s内该点所转过的角度rad33.532d2d3220200====−∫∫ttttωθθ2222－18181818一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m的圆形轨道运动。已知质点的角速度与时间的平方成正比，即2kt=ω（SI制）。式中k为常数。已知质点在第2s末的速度为32m/s。试求t=0.5s时质点的速度和加速度。解首先确定常数k。已知t=2s时，v=32m/s,则有322s4−===Rtvtkω故24t=ω，24RtRv==ω，Rttvat8dd==当t＝0.5s12s.m24−==Rtv，2s.m88−==Rtat，22s.m2−==Rvan222s.m25.8−=+=ntaaa，o10.14tan==−tnaaθ2222－19191919由山顶上以初速度vvvv0水平抛出一小球