正、余弦定理在实际中的应用全面版

高中数学高一年级必修五第一章第1.2.2节：正、余弦定理在实际中的应用导学案命制学校：沙市五中命制教师：高一数学组+k.Com]Ａ．学习目标1.使学生能够运用正弦定理，余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题。了解常用的测量相关术语，如坡度、仰角、俯角、方向角、方位角等。2.结合实际测量工具，能用正弦定理、余弦定理等知识解决生活中一些有关底部不可到达的物体高度的测量问题。3.通过有关角的研究，让学生根据题意能准确地画出平面示意图，灵活应用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。Ｂ．学习重点、难点重点：分析测量距离问题，高度问题，角度问题的实际背景，能应用正、余弦定理解决实际测量问题。能根据正、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。弄清仰角、俯角、方位角、方向角的概念，将实际问题转化为数学问题。难点：根据题意准确画出示意图（平面或立体图形），灵活应用正、余弦定理解决有关实际测量问题。Ｃ．学法指导通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测量有关的实际问题，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题。D．知识链接本章引言中就提出经常萦绕着我们的这么一个问题:“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？今天我们将一起学习这个神奇的方法，出示课题：正、余弦定理在实际问题中的应用。E．自主学习测量中的基本术语[提出问题]李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中．问题1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向．问题2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东45°或东偏南45°.[导入新知]实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角[化解疑难]解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节．F.合作探究测量高度问题[例1]如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)即塔高AB＝200米．[类题通法]测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．[活学活用]1.如图，A、B是水平面上两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角是25°，∠BAD＝110°，又在点B测得∠ABD＝40°，其中D点是点C在水平面上的垂足．求山高CD(精确到1m)．解：在△ABD中，∠ADB＝180°－110°－40°＝30°，由正弦定理得AD＝ABsinBsin∠ADB＝800×sin40°sin30°≈1028.5(m)，在Rt△ACD中，CD＝ADtan25°≈480(m)．答：山高约为480m.测量角度问题[例2]如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．[类题通法]解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去．[活学活用]2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．解：在△ABC中，根据余弦定理，有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB＝103，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.1.探究距离测量问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．【角度一】两点不相通的距离如图所示，要测量一水塘两侧A、B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2abcosα.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB长．解：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝2007m.即A、B两点间的距离为2007m.【角度二】两点间可视但有一点不可到达如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A、B两点间的距离为________．解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝60×sin45°sin60°＝206(m)．即A、B两点间的距离为206m.答案：206m【角度三】两点都不可到达如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64(km)．∴A，B两点间的距离为64km.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H．达标检测一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB.α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为()A.2akmB.3akmC．akmD．2akm解析：选A△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝2a.3．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A．5B.10C．102D．103解析：选C如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m，由正弦定理，得BB′＝ABsin45°sin30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延伸102m时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.1762海里/小时B.346海里/小时C.1722海里/小时D．342海里/小时解析：选A如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×32＝346，∴v＝MN4＝1726(海里/小时)．5.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，则乙船每小时航行()A．102海里B.202海里C．30海里D．302海里解析：选D如图，连结A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝302×13＝102＝A2B2，∴△A1A2B2为正三角形，∴A1B2＝102.在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，∴B1B22＝400＋200－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102，∴乙船每小时航行302海里．二、填空题6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地距离为________km.解析：如右图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7km.答案：77．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，