2009年高考数学试题及答案-江苏卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差221111(),nniiiisxxxxnn其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.1.若复数12429,69zizi，其中i是虚数单位，则复数12()zzi的实部为★.【答案】20【解析】略2.已知向量a和向量b的夹角为30，||2,||3ab，则向量a和向量b的数量积ab★.【答案】3【解析】32332ab。3.函数32()15336fxxxx的单调减区间为★.【答案】(1,11)【解析】2()330333(11)(1)fxxxxx，由(11)(1)0xx得单调减区间为(1,11)。4.函数sin()(,,yAxA为常数，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。11233Oxy0,0)A在闭区间[,0]上的图象如图所示，则★.【答案】3【解析】32T，23T，所以3，5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为★.【答案】0.2【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s★.【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W★.【答案】22【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为★.【答案】1：8【解析】略9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线3:103Cyxx上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为★.【答案】(2,15)【解析】略10.已知512a，函数()xfxa，若实数,mn满足()()fmfn，则,mn的大开始0S1T2STS10S2TTWST输出W结束YN小关系为★.【答案】mn【解析】略11.已知集合2|log2Axx，(,)Ba，若AB则实数a的取值范围是(,)c，其中c★.【答案】4【解析】由2log2x得04x，(0,4]A；由AB知4a，所以c4。12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题．．．的序号★（写出所有真命题的序号）.【答案】（1）（2）【解析】略13．如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为★.【答案】275e【解析】用,,abc表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.14．设na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)nnban若数列nb有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q★.【答案】9【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）xyA1B2A2OTM设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)abc（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；（2）求||bc的最大值;（3）若tantan16，求证：a∥b.【解析】由a与2bc垂直，(2)20abcabac，即4sin()8cos()0，tan()2；(sincos,4cos4sin)bc2||bc22sin2sincoscos2216cos32cossin16sin1730sincos1715sin2，最大值为32，所以||bc的最大值为42。由tantan16得sinsin16coscos，即4cos4cossinsin0，所以a∥b.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，E,F分别是11AB,AC的中点，点D在11BC上，11ADBC求证：（1）EF∥ABC平面（2）111AFDBBCC平面平面【解析】证明：（1）因为E,F分别是11AB,AC的中ABCA1B1C1EFD点，所以EF//BC，又EF面ABC，BC面ABC，所以EF∥ABC平面；（2）因为直三棱柱111ABCABC，所以1111BBABC面，11BBAD，又11ADBC，所以111ADBCC面B，又11ADAFD面，所以111AFDBBCC平面平面。17．（本小题满分14分）设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足2222234577aaaa,S（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项.解析：（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433()()daadaa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d所以na的通项公式为27nan，前n项和26nSnn。（2）12272523mmmaa(m)(m)a(m)，令23mt，1242mmmaa(t)(t)at86tt，因为t是奇数，所以t可取的值为1，当1t，2m时，863tt，2573，是数列na中的项；1t，1m时，8615tt，数列na中的最小项是5，不符合。所以满足条件的正整数2m。18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线12ll和，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【解析】(1)0y或7(4)24yx，(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为313(,)22或51(,)22。19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nna.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为12hh.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为Am元和Bm元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h甲=h乙；(2)设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲和xyO11..0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。(4)求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h甲=h乙；(5)设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(6)记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲和0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】(1)=,=,125320ABABABABmmmmhhmmmm乙甲([3,12],[5,20])ABmm当35ABmm时，235=,35(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm甲235=,320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm乙显然=hh乙甲(2)当35ABmm时，2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBBBBBmhmmmmmm甲由111[5,20][,]205BBmm得，故当1120Bm即20,12BAmm时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10520．(本小题满分16分)设a为实数，函数2()2()||fxxxaxa.(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)求()fx的最小值；(3)设函数()(),(,)hxfxxa，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1hx的解集.【解析】（1）若(0)1f，则20||111aaaaa（2）当xa时，22()32,fxxaxa22min(),02,0()2(),0,033faaaafxaafaa当xa时，22()2,fxxaxa2min2(),02,0()(),02,0faaaafxfaaaa综上22min2,0()2,03aafxaa(3)(,)xa时，()1hx得223210xaxa，222412(1)128aaa当6622aa或时，0,(,)xa；当6622a时，0,得223232()()033aaaaxxxa1）26(,)22a时，(,)xa2）22[,]22a时，232[,)3aax3）62(,]22a时，223232(,][,)33aaaaxa