2011--河北省大学生数学竞赛(非数学类)

2011年河北省大学生数学竞赛（非数学类）参考答案及评分标准考试时间9月24日上午9：00——11:30一、（本题满分10分）设)(xf在0=x的某邻域内有连续的导函数,且,2))(sin(lim20=+→xxfxxx求)0(f与)0('f.解:由,2))(sin(lim20=+→xxfxxx得到.0),1(2)(sin2→+=+xxxfxxo因此0xx),(sin2)(→+-=oxxxxf.由于)(xf在0=x的某邻域内有连续的导函数,故)(xf在0=x连续,所以.1)(lim)0(0-==→xffx（5分）由导数的定义,.21)(sin2lim)0()(lim)0('00=++-=-=→→xxxxxxfxffxxo（10分）10分二、（本题满分10分）计算级数LL+--++⋅-⋅+⋅-⋅)1()1(453423125432nnxxxxxnn之和,1||x.解:该级数的收敛半径为1.由1||,11)1(0+=-∑∞=xxxnnn,（3分）两边从0到x积分得1||),1ln(1)1(01+=+-∑∞=+xxnxnnn，（6分）再两边从0到x积分得.1||)1ln()1ln()1ln()2)(1()1(002++-+=+=++-∫∑∞=+xxxxxdttnnxxnnn（10分）三、（本题满分10分）计算积分∫∫+=DdxdyxyyxI,332其中D为平面曲线xyxyxyxy3,,3,122====所围成的有界闭区域.解:作变换,,2xyvxyu==则积分区域变为}31,31:),{('≤≤≤≤=vuvuD，这时,3),(),(1vyxvuJ=∂∂=-（5分）这样就得.2ln32)1(3'232=+=+=∫∫∫∫DDuvdudvdxdxyyxI（10分）四、（本题满分10分）确定函数)(tu使得.1)0(,)()()(10=+=∫udssutudttdu解:令dssub)(10∫=,则b为一特定常数,问题变为求解方程,)()('btutu+=其通解为tCebtu+-=)(.（5分）由初值条件得,1)0(=+-=Cbu而,)1()(10∫-+-=+-=eCbdtCebbt解得eCeeb-=--=32,31,于是eeetut-+-=312)(.（10分）五、（本题满分10分）设......,2,1),1(,1011=-=+nxxxxnnn证明:.1lim=∞→nnnx证明:由于,1)1(1112-=xxxx若,1nx则.1)1(1-=+nnnnxxxx即数列{nx}严格单调递减且有下界,故有极限,设为,10,≤≤aa故由)1(1nnnxxx-=+,得2aaa-=,即.0=a（5分）由Stolz法则,.1)1(lim1)1(11lim111lim1limlim1=-=--=-==∞→∞→+∞→∞→∞→nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxnnx（10分）六、（本题满分10分）设)(xf有连续的二阶函数,0)0('=f且,1||)(''lim0=→xxfx证明)(xf在0=x处取得极小值.证明:由泰勒公式得),0(,2)('')0()(2xxffxf∈+=xx,（3分）由,1||)(''lim0=→xxfx可知)(''xf在0=x的某邻域内恒正,（6分）因此)(xf在0=x处取得极小值.（10分）七、（本题满分10分）已知11,)1ln()(0--=∫xdtttxxj,证明:.11),(21)()(2-=-+xxxxjjj证:1)1(11lim)1ln(lim)1ln(1lim)0('0000-=-⋅-=-=-=→→→∫xxxdtttxxxxxj,.0,)1ln()('≠-=xxxxj（4分）令),(21)()()(2xxxxfjjj--+=则有,0)(')(')(')('2≡---=xxxxxfjjj因此,)(cxf≡注意到0)0(=j,知,0)0(=f所以,0=c故.0)(≡xf（10分）八、（本题满分10分）设,,2,1,tan40L⋅==∫nxdxannp(1)计算级数)(121+∞=+∑nnnaan的和;(2)证明级数nnna∑∞=-1)1(条件收敛;解:(1)由,11tantan)1cos1(tantan402404022nnnnnnanaxxddxxxxdxa-+=-=-==∫∫∫++ppp得112+=++naann,于是.1111)1(1)(11121=+-=+=+∑∑∑∞=∞=+∞=nnnnaannnnnn（5分）(2)证明:因为,1102+=+≤≤+naaannn则.0lim=∞→nna显然}{na单调递减.故级数nnna∑∞=-1)1(收敛.又因,)1(212/)(1+=+≥+naaannn得nna∑∞=1发散,故级数nnna∑∞=-1)1(条件收敛.（10分）九、（本题满分10分）设)(xf在]1,0[上可微,且当)1,0(∈x时.0)0(,1)('0=fxf试证:).1(21)(210fdxxf∫证明:由已知.0)0(,1)('0=fxf得当]1,0(∈x时0)(xf.（3分）令∫-=xxfdttfxF02),()(2)(则)(xF在]1,0[上可微,,0)0(=F当)1,0(∈x时,其导数.0))('1)((2)(')(2)(2)('-=-=xfxfxfxfxfxF（6分）因此当)1,0(∈x时)(xF递增,且0)(xF,又由于)(xF在1=x处连续,故.0)1(F（10分）十、（本题满分10分）设)(xf在]1,0[上有三阶连续导数,.0)(',2)1(,1)0(21===fff证明至少存在一点),1,0(∈x使得.24|)('''|≥xf证明:由泰勒公式,存在),1,(),,0(2121∈∈hx使得321612212121212121)0)((''')0)(('')0)((')()0(-+-+-+=xfffff;,)1)((''')1)(('')1)((')()1(321612212121212121-+-+-+=hfffff（5分）两式相减,并用已知条件,得,48)(''')('''=+hxff故至少存在一点),1,0(∈x使得.24|)('''|≥xf（10分）