中职数学5---圆锥曲线直线与抛物线的位置关系3.3--抛物线与直线的相交问题

xyO直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）xyO二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离，无交点。例：判断直线y=x+2与抛物线y=4x2的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。xyO二、判断方法探讨2、直线与抛物线相切，交与一点。例：判断直线y=x+1与抛物线y=4x2的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。二、判断方法探讨3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。例：判断直线x=6与抛物线y=4x2的位置关系计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标xO二、判断方法探讨例：判断直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。三、判断位置关系方法总结(方法一)把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线相交(一个交点)计算判别式1、判别式大于0，相交(2交点）2、判别式等于0，相切3、判别式小于0，相离三、判断位置关系方法总结(方法二)判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)计算判别式判别式大于0，相交判别式等于0，相切判别式小于0，相离平行例1：已知直线l：y＝kx＋1和抛物线C：y＝4x2，试判断当k为何值时，l与C有：①一个公共点；②两个不同公共点；③没有公共点.例2当b为何值时,直线y=-2x+b与抛物线2yx2(1)相交,(2)相切,(3)相离?解：由方程组{02b4xx2b)8(22b)(44Δ2b2xy2yx2消去y，并整理得(1)当即b-2时，直线与抛物线相交0(2)当即b=-2时，直线与抛物线相切（2）当即(3)当即b-2时，直线与抛物线相离00例3求过定点P（1，0）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.2y2x由{得{0x2xy20x0y故直线x=0与抛物线只有一个交点.解:(1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是由方程组{消去y得1kxy2xy2(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是y=kx+1,x=0.011)x2(kxk22故直线y=1与抛物线只有一个交点.当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则.21k0,4k1)4(kΔ22此时直线方程为1.x21y综上所述，所求直线方程是x=0或y=1或1.x21y点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。21当k=0时，x=,y=1.例4在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.2xy5|31)(x|5|4x2x|5|4y2x|d22解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离2xy此时y=1，53dmin当且仅当x=1时，，所求点的坐标为P(1,1).另解:观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点即为所求.2xy联立得设切线方程为2x-y+C=0，0C2xx2)(由得C=-10C)(42)(Δ2又由（）得x=1，∴y=1.故所求点的坐标是（1，1）.点评：此处用到了数形结合的方法.直线和抛物线题型•过某一点的直线和抛物线只有一个交点；•过抛物线上某一点和已知直线距离最近；•含有一个字母的直线与抛物线相交情况，或者反之字母在抛物线上。