材料力学07应力与应变分析 强度理论

第七章应力应变分析强度理论§7–1应力状态的概念§7–2平面应力状态分析——解析法§7–3平面应力状态分析——图解法§7–4三向应力状态简介§7–5广义虎克定律§7–6复杂应力状态下的变形比能§7-7强度理论及应用§7–１应力状态的概念一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？F铸铁压缩铸铁扭转铸铁拉伸低碳钢扭转xy''x'x'y'切中有拉yxxyyxxy重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。MzFS微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。xy''x'yxxy三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzxzyxyyx单元体的性质a、任意面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。xyzxzy四、切应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。0:zM单元体平衡证明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyyxxyxyzx五、取单元体：例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。FFAAxxMeFxyzBCxxBxzCxyyxFPl/2l/2S平面六、主单元体、主平面、主应力：主单元体(Principalbidy)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321123xyzxyz单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。AxxzxxxBxzyxzxyzxyyxyzzyzxxz§7–2平面应力状态分析——解析法等价xxyyxyzxyxxyyO应力状态分析的任务：1.任意斜截面上的应力。2.主应力的大小及主平面的方位。3.最大切应力。规定：截面外法线同向为正；绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：Fn00cossinsinsincoscos22SSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力xyxxyyOyxyxxyOn图2图1xyxxyyOyxyxxyOn图22sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx考虑切应力互等和三角变换，得：同理：F002cos22sin:000xyyxdd令二、极值应力yxxy22tg0和两个极值：）、（由此得两个驻点：200！极值正应力就是主应力00）2222xyyxyxji±（xyxxyyOxyxxyyO主单元体0;;0)1(321jiji31三、主应力大小及方向jiji321;;00)2(jiji321;0;0;0)3(yxxy22tg0yxyx10xyOnX00sincoscos01SSSxyoxxyx10tg0xyxxyyO0dd:1令xyyx22tg1222xyyxminmax±）（2'min'maxji主单元体31四、最大切应力01045,4面成即极值剪应力面与主平空间应力状态：231minmax231max例2分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画单元体求主应力及最大切应力0yxPxyWT2222xyyxyxji）（2xyxyCyxMeCxyOxyyx破坏分析321;0;451tg010xyx0022tg11xyyxMPa200;MPa240:ss低碳钢MPa300~198;MPa960~640MPa280~98:bcbtb灰口铸铁低碳钢231maxxyyx主单元体310解：MPaxyyxyx5.172sin2cos22例3用解析法求斜截面上的应力。oxyy12003020MPaMPaxMPaxyyx65.212cos2sin220MPa30MPa300例4用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。解：MPaMPaxyyxyxji86.1514.4421030)2(222,20MPa40MPa10MPaoxyxarctgarctg5.221014.444011086.1514.44321MPaMPa1x22.5o2MPa07.22231maxMPaMPaMPax102040xyy§7–3平面应力状态分析——图解法2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）xyxxyyOyxyxxyOn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)AB与轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；xxyyxyOnOCA(x,xy)B(y,yx)x2nD(,xxyyxyOnOCA(x,xy)B(y,yx)x2nD(,三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。2222xyyxyxjiROC）（四、在应力圆上标出极值应力231minmaxROCA(x,xy)B(y,yx)x21minmax201233例5求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°AB12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆012BAC20(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点312BAC20(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图0201203213004532532595150°102AB2cos2sin2xyyx4532532595150°解法2—解析法：分析——建立坐标系如图xyyxyMPa325MPa45?x2222xyyxyxji）（60°MPa325MPa956060xyOoox120cos325120sin245325MPax954532532595150°MPa325MPa45xyy2222xyyxyxji）（60°xyOMPax95MPaMPaji20120020120321MPaMPa300xyx10tg10295325zzSxyIbSFzxIMy12345F1F2q例6如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、FS0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。解：由梁弯曲应力公式：02222231xyxx）（xyyxx113331311350–45°0A1A2D2D1COA2D2D1CA1O20D2D1CD1O20=–90°D2A1O20CD1A2A2D2D1CA1O§7–4三向应力状态简介21xyz31231、空间应力状态2、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大切应力为：max231max21xyz3123例1求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：由单元体图知：yz面为主面50k建立应力坐标系如图，画应力圆和点1′,得:27505832144max5040xyz3010(MPa)（MPa）ABCAB123max例1求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：由单元体图知：yz面为主平面50k72.42max5040xyz30ABC30402222zyyzyzji）（MPaMPaji72.2772.5772.275072.57321231max一、单拉下的应力--应变关系ExxxyExzE)0x,y,z(i,jijxyzx§7–5广义虎克定律二、纯剪的应力--应变关系Gxyxy)(0x,y,zii0zxyzxyzxy三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:zyxzyxxEEEE1xyzzyxyxxyzExxyxEzxE三、复杂状态下的应力---应变关系xzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzxzyxxE1xyzzyxyx主应力---主应变关系方向一致02tg2yxxyyxxy02tg13221E12331E32111E四、平面状态下的应力---应变关系:0zxyzzxyxyGyxxE21xyyE21zyyE1GxyxyyxxE1xyxxyyO五、体积应变与应力分量间的关系321aaaV)1()1()1(3322111aaaV3211