高中数学函数奇偶性专题复习

1【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(xf的定义域内任意一个x：⑴)()(xfxf)(xf是偶函数；⑵)()(xfxf)(xf奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；③可逆性：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf是奇函数；④等价性：)()(xfxf0)()(xfxf；)()(xfxf0)()(xfxf⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(xf是否与)(xf、)(xf相等，判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(xfxf哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）xxxf2)(3（2）2432)(xxxf(3）1)(23xxxxf（4）2)(xxf2,1x（5）xxxf22)(（6）2|2|1)(2xxxf；（7）2211)(xxxf（8）221()lglgfxxx；（9）xxxxf11)1()(例2：判断函数)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：35721246822()...1(0);()sin;tan()...(0);;()cos;();log;(0,0)(0)0()1kkxaxxxxxkZkkxxxxxxxxxxkZaxcbxfxxyCCaxkxbkbyxaayy常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：221(1)xxx两个点的函数四、关于函数的奇偶性的6个结论。两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。2结论1函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。结论2两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。结论3)(xf是任意函数，定义域关于原点对称，那么)(xf是偶函数。结论4函数)()(xfxf是偶函数，函数)()(xfxf是奇函数。结论5已知函数)(xf是奇函数，且)0(f有定义，则0)0(f。结论6已知)(xf是奇函数或偶函数，方程0)(xf有实根，那么方程0)(xf的所有实根之和为零；若)(xf是定义在实数集上的奇函数，则方程0)(xf有奇数个实根。五、关于函数按奇偶性的分类：全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征例1：偶函数)(xfy在y轴右则时的图像如图（一），则y轴右侧的函数图像如图（二）。七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例1：（1）已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，求)2(f的值（2）已知53()531fxxxx11([,])22x的最大值M,最小值为m,求Mm的值2、利用奇偶性比较大小例2：（1）已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，)1(f，)3(f的大小。（2）已知函数yfx是R上的偶函数，且fx在0,上是减函数，若2faf，求a的取值范围.（3）定义域为R的函数xf在,8上为减函数，且函数8xfy为偶函数，则A.76ffB.96ffC.97ffD.107ff3.利用奇偶性求解析式例3：（1）已知)(xf为偶函数，时当时当01,1)(,10xxxfx，求)(xf解析式？（2）已知()fx为奇函数，当0x时,2()2fxxx，当0x时，求)(xf解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间？2-111-2XY图（二）0121XY图（一）3x0y1x0y1x0y1x0y16、利用奇偶性求参数的值例6：（1）定义R上的偶函数)(xf在)0,(单调递减,若)123()12(22aafaaf恒成立，求a的范围.（2）定义R上单调递减的奇函数()fx满足对任意tR，若22(2)(2)0fttftk恒成立,求k的范围.（3）已知fx在定义域0,上为增函数，且满足,31fxyfxfyf，求不等式82fxfx解.7、利用图像解题例7：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式0xf的解是.（2）若函数()fx在(,0)(0,)上为奇函数，且在(0,)上单调递增,(2)0f,则不等式()0xfx的解集为______.8.利用定义解题例8：已知1()21xfxa为奇函数，则a________。已知21()(32)()xfxxxa为偶函数，则a________。9.利用性质选图像例9：（1）设1a，实数,xy满足1||log0axy，则y关于x的函数的图像形状大致是ABCD（2）函数xxxxeeyee的图象大致为（A）（B）（C）（D）【奇偶性专题】训练1、判断下列函数的奇偶性（1）)0(1xxy；（2）14xy；（3）xy2；（4）；)1(log22xxy（5）；xexfx)1ln()(2（6）；)0()1()0()1()(xxxxxxxf【变题】已知()fx对一切实数,xy都有()()()fxyfxfy，则()fx的奇偶性如何？42、（1）如果定义在区间]5,3[a上的函数)(xf为奇函数，则a=_____（2）若axfxxlg22)(为奇函数，则实数a_____（3）若函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当),0(x时，)1()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=_______（4）已知函数)(xfy在R是奇函数，且当0x时，xxxf2)(2，则0x时，)(xf的解析式为_______________（5）定义在)1,1(上的奇函数1)(2nxxmxxf，则常数m____,n_____（6）函数cbxaxy2是偶函数的充要条件是___________（7）已知5)(357dxcxbxaxxf，其中dcba,,,为常数，若7)7(f，则)7(f_______3、若)(xf)(Rx是奇函数，则下列各点中，在曲线)(xfy上的点是A.))(,(afaB.))sin(,sin(fC.))1(lg,lg(afaD.))(,(afa4、设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于A.0.5B.5.0C.1.5D.5.14、若函数)(xf是定义在R上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.以上均不对6、函数)0)(()1221()(xxfxFx是偶函数，且)(xf不恒等于零，则)(xfA.是奇函数B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数7、下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是A.()sinfxxB.()1fxxC.1()2xxfxaaD.2()ln2xfxx8、已知函数)(.)(.11lg)(afbafxxxf则若A．bB．－bC．b1D．－b19、设)(xf是定义在实数集R上的函数，且满足)()1()2(xfxfxf，如果23lg)1(f，15lg)2(f，求)2001(f10、设)(xf是定义在R上的奇函数，且)()2(xfxf，又当11x时，3)(xxf，（1）证明：直线1x是函数)(xf图象的一条对称轴：（2）当]5,1[x时，求)(xf的解析式。【变题】设)(xf是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线1x对称，求证：)(xf是周期函数。11、定义在]11[，上的函数)(xfy是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。5答案：基本训练：1、（1）（5）；（2）；（3）（4）变题：奇函数2、0b3、174、B5、A例题：1(1)8(2)10(3)3(1)xx(4)B2(1)奇函数(2)既是奇函数也是偶函数(3)非奇非偶函数3、14(1)证(1)(1)fxfx(2)33(2),[1,3]()(4),3,5xxfxxx变题：T＝4作业：1—8、DAABDBDC9、2()2(0)fxxxx10、0；011(1)偶函数(2)奇函数12(1)偶函数13、3331,214(1)411()2,()224ff(2)T=2