初二数学部分典型习题解答(1)

ABCDE30°130°19.20.如图所示，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，如果∠BED=90°，证明：AB∥CD。证明：在△BDE中，∵∠BED=90°，∠BED+∠EBD+∠EDB=180°，∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-90°=90°。又∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，∴∠ABD=2∠EBD，∠CDB=2∠EDB，∴∠ABD+∠CDB=2（∠EBD+∠EDB）=2×90°=180°，∴AB∥CD。如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D。解：∵∠AOC是△AOB的一个外角∴∠AOC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠AOC=95°，∠B=50°∴∠A=∠AOC-∠B=95°-50°=45°∵AB∥CD∴∠D=∠A（两直线平行，内错角相等）∴∠D=45°（1）若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数．解：设此多边形的边数为n，则（n-2）•180°=2340，解得n=15．故此多边形的边数为15（2）一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为3：2，求这个多边形的边数．解：设多边形的一个内角为13x度，则一个外角为2x度，依题意得13x+2x=180，解得x=12．2x=2×12=24°，360°÷24°=15．故这个多边形的边数是15．23.一个零件的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B和∠C分别等于32°和21°．检验工人只量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，请你说明零件不合格的理由．解：延长CD交AB于E，则∠DEB=∠A+∠C=111°，∠BDC=∠DEB+∠B=143°，即合格零件的∠BDC应为143°，而此零件这个角为148°，因此可以判定这个零件不合格．ABCDE32°21°24.园艺师从土地上收集了许多大理石的边角料，准备给公共绿地的甬道铺地面，其中最多的一种边角材料形状如图所示，你能否用这种边角料铺满地面？如果能，请设计出至少两种方案。6.AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∴△DEF≌△DNM（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11，S△DNM=S△DEF=1/2S△MDG=1/2×11=5.59.如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC与∠DFE的度数和是______度．证明：因为滑梯长度相等，即BC=EF又AC=D而∠BAC=∠EDF=90°∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）∴∠ABC=∠DEF又∠DEF+∠DFE=90°∴∠ABC+∠DFE=90°FGHM1012.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为____________．解：∵ABCD是正方形(已知)，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°；又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD(等量代换)；∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴在Rt△AFB和Rt△AED中，∵∴△AFB≌△AED(AAS)，∴AF=DE=8，BF=AE=5∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．13.在直角三角形中∠ACB=90°BC=2cm，CD垂直于AB，在AC上取一点E，过点E作EF垂直于AC则AE等于()cm解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∠ECF＝∠BEC＝BC∠ACB＝∠FEC＝90°∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5-2=3cm．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3等于（）∠1+∠2+∠3=135°∠1+∠3=90°∠2=45°则∠1+∠2+∠3=135°15.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO：S△BCO：S△CAO=__________。解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（1/2AB•OD）：（1/2BC•OF）：（1/2AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：616.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BP＝CE，BD＝CP，则∠DPE＝________度．解：∵AB=AC∴∠B=∠C在△BPD和△CEP中∴△BPD≌△CEP（SAS），∴∠BDP=∠CPE，∵∠B+∠BDP+∠DPB=180°，∠DPE+∠BPD+∠CPE=180°∴∠DPE=∠B在△ABC中，∠A=40°∴∠B=∠C=70°，∴∠DPE=70°17.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，求∠3的度数解：在△ABD与△ACE中，∵∠BAC=∠DAE即∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD，∴∠1=∠CAE；又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠2=∠ABE（对应角相等）；∵∠3=∠1+∠ABE=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，∴∠3=55°．如图，在RT三角形ABC中,角BAC=90°,AB=AC,AE是过A点的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若CE=3，BD=7则DE=（）证明：∵∠BAC＝90∴∠BAE+∠CAE＝90∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB＝∠AEC＝90∴∠BAE+∠ABD＝90∴∠ABD＝∠CAE∵AB＝AC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AE＝BD，AD＝CE∵AE＝DE+AD∴AE＝DE+CE∴BD＝DE+CE∴DE=7-3=4如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：（1）BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A到图2位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明；（3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明。BD=DE-CE归纳（1）（2）（3），请用简洁的语言表述BD、DE、CE的关21.23.解：（1）△AGE≌△DGB∵△ABC≌△DEF，理由：∴∠A=∠D，AC=DF，BC=EF∴AC-EF=DF-BC，即AE=DB又∵∠AGE=∠DGB，∴△AGE≌△DGB．（2）AB与CD互相垂直理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D∵DF∥BC，∴∠D=∠BCG∴∠A=∠BCG∵∠A+∠B=90°，∴∠BCG+∠B=90°∴AB⊥CD．24.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想解：BE=EC，BE⊥EC．理由：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°且有一个锐角是45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中点，∴AD=CD=AC，∵AC=2AB，∴AB=AD=DC，在△EAB和△EDC中∴△EAB≌△EDC（SAS），∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，∴BE⊥EC．