圆锥曲线经典解答题汇编

圆锥曲线经典解答题汇编目录1.轨迹问题................................................................................................................................................................................12.中点弦及弦长公式的运用....................................................................................................................................................53.最值问题................................................................................................................................................................................94.面积问题...............................................................................................................................................................................115.求解参数范围问题..............................................................................................................................................................146.对垂直的处理......................................................................................................................................................................157.比例问题..............................................................................................................................................................................188.直线过定点或多点共线问题..............................................................................................................................................209.定值问题..............................................................................................................................................................................2110.相切与公共切线问题........................................................................................................................................................251.轨迹问题1.如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹解：（1）设M（y20,y0），直线ME的斜率为k(l0)则直线MF的斜率为－k，方程为200().yykxy∴由2002()yykxyyx，消200(1)0xkyyyky得解得20021(1),FFkykyyxkk∴0022000022211214(1)(1)2EFEFEFkykyyykkkkkykykyxxykkk(定值)所以直线EF的斜率为定值（2）90,45,1,EMFMABk当时所以直线ME的方程为200()yykxy由2002yyxyyx得200((1),1)Eyy同理可得200((1),(1)).Fyy设重心G（x,y），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333MEFMEFyyyyxxxxyyyyxxxx消去参数0y得2122().9273yxxxyOABEFM2.已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为).,(yx由P),(yx在椭圆上，得222222212||()()().bcFPxcyxcbxaxaa由0,acxacaax知，所以.||1xacaPF………3分证法二：设点P的坐标为).,(yx记,||,||2211rPFrPF则.)(,)(222221ycxrycxr由.||,4,211222121xacarPFcxrrarr得证法三：设点P的坐标为).,(yx椭圆的左准线方程为.0xaca由椭圆第二定义得accaxPF||||21，即.||||||21xacacaxacPF由0,acxacaax知，所以.||1xacaPF…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为).,(yx当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时，由0||||2TFPT，得2TFPT.又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，aQFOT||21||1，所以有.222ayx综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx…………………………7分解法二：设点T的坐标为).,(yx当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT.又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（yx,），则.2,2yycxx因此.2,2yycxx①由aQF2||1得.4)(222aycx②将①代入②，可得.222ayx综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx……………………7分3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yx上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AOBO．（Ⅰ）求AOB得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．③④解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则332121yyyxxx…（1）∵OA⊥OB∴1OBOAkk,即12121yyxx，……(2)又点A，B在抛物线上，有222211,xyxy，代入（2）化简得121xx∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121xxxxxxxxyyy所以重心为G的轨迹方程为3232xy（II）22212122222122212222212121))((21||||21yyyxyxxxyxyxOBOASAOB由（I）得66666121211112222(1)2212222AOBSxxxx当且仅当6261xx即121xx时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；4.如图，动圆2221:Cxyt,1t3,与椭圆2C：2219xy相交于A，B，C，D四点，点12,AA分别为2C的左，右顶点。(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。【解析】(Ⅰ)设A(0x，0y)，则矩形ABCD的面积S=004|||xy，由220019xy得，220019xy，∴2200xy=2200(1)9xx=220199()924x，xyOAB当2092x，2012y时，maxS=6，∴t=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(Ⅱ)设1111,,,-AxyBxy，又知12-3,0,3,0AA，则直线1AA的方程为11=+3+3yyxx①直线2AB的方程为11-=-3-3yyxx②由①②得22221221-=-3-3yyxx③由点11,Axy在椭圆0C上，故可得2112+=13xy，从而有22112=1-3xy，代入③得22-=1-3,09xyxy∴直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程为22-=1-3,09xyxy……12分5.如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且||||PQPR，求||||PRPQ的取值范围。yxBAOM【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想[解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x0,0y.当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，,±3）当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=MABMAB2tan1tan2,即2)1||(11||22||xyxyxy化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x1）…………………5分(II)由方程033222yxmxy消去y，可得03422mmxx。（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设34)(22mmxxxf所以0)3(4)4(0341)1(1242222mmmmfm解得，m1,且m2设Q、R的坐标分别为),(),,(00RRyxyx，由PRPQ有)1(32,)1(32202mmxmmxR所以)11(3241)11(32)11(32)1(32)1(3222222mmmmmmmxxPQPRQR由m1，且m2，有.7m113241,347)11(3241122）