流体力学相关方程表示式子

正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式子1:算子的表示式为：123112233111eeeHqHqHq2：散度A的表示式为：2311321231231211AHHAHHAHHAHHHqqq3：旋度A的表示式为：3322123231133222113133112121123331111231122331111HeHeHeAHAHAeHHHqqqHHqqHAHAHAHAHAeHAHAeHHqqHHqq4：调和量的表达式：22313121231112223331HHHHHHHHHqHqqHqqHq5：说明：（1）：在柱面坐标系中：1H，H，1zH（2）：在球面坐标系中：1rH，Hr，sinHr柱坐标下的不可压缩流体的动量方程式1:对流时间导数：1zrVVVVrrz2：Laplace算子：22222211rrrrrz3：动量方程：2222222222rrrrrrrzzzzVVVVpVVgVtrrrrVVVVVpVVgVtrrrVpVVgVtz4：动量完全展开式：22222222222222222211211rrrrrzrrrrrrrrzVVVVVVVVtrrzrVVVVVVpgrrrrrzrrVVVVVVVVVtrrzrVVVVVpgrrrrzr22222222211rzzzzzzzzrzzVrVVVVVVVVVpVVgtrrzzrrrrz直角坐标下的流体的本构方程和动量守恒方程1:本构方程：xyyxuvyx，xzzxuwzx，yzzyvwzy2xxudivVx，2yyvdivVy，2zzwdivVz2：动量守恒方程：ijDVFPDtyxxxzxxxyyyzyyyzxzzzzDupFDtxxyzDvpFDtyxyzDwpFDtzxyz将本构方程代入得：22xyzDupuvuuwFVDtxxxyxyzzxDvpvuvwvFVDtyxxyyyzyzDwpuwFDtzxz2wvwVxyyzzz整理得：33xyzDupuuuuvwFDtxxxyyzzxxyzDvpvvvuvwFDtyxxyyzzyxyzDwpFDtz3如果动力粘性系数认为是常数：则可简化以上NS方程：213DVFpVVDt能量方程1:直角坐标下：22pppyxxyyyzyyzxxzxxzzzupvpwpDVTTTeqDtxcxycyzczxyzuvvvwuuwwxyzxyzxyzfV参考“计算流体力学入门”P71有：pppxxyxzxxyyyzyxzyzzzDeTTTuvwqpDtxcxycyzczxyzuuuvvv将本构方程代入得：2222222pppDeTTTuvwqpDtxcxycyzczxyzuvwuvwuvuwvwxyzxyzyxzxz2y简化表示如下：22222222pDeqTpVDtcuvwuvuwvwVxyzyxzxzy2：柱坐标下不可压缩流体的能量方程：DeqTpVTDt又DeDTcDtDt于是有2222222rrzzzrzrTcVTTt其中2222222rrzzzrzr式中：rrrVr，1rVVr，zzzVz1zzVVrz，zrrzVVrz，1rrVVVrr粘性不可压缩流体的涡度输运方程1：三维问题根据不可压缩流体动量守恒方程：2DVpFVDt即：2VpVVFVt由矢量恒等式：ABABABBABA得：VVVVVVVVVV即：212VVVVVVVV故有：2212VpVVFVt重点式子1对上式两端同时取旋度：2pVFt若质量力F有势0F而21pp于是有：221Vpt重点式子2若流体为正压性，即流体密度仅为压力的函数，则210p又由矢量恒等式：BABBAABAAB得：VVVVV其中：0V，对不可压缩流体0V故VVV于是可以得到简化的涡度输运方程：2VVt重点式子3陶老师《数值传热学》第二版P323式840可参考上式解释，要特别注意的是上式只适用于三维问题中。又注意到物质导数定义：DVDtt因此重点式子3又可以变为：2DVDt对理想流体有DVDt重点式子4上式即为不可压缩理想流体的海姆霍兹方程2：二维问题根据动量守恒方程：2VpVVFVt由于此时的涡量只是三维问题中的一个分量，于是有：VVV故对动量守恒方程取旋后，基本方法同三维问题，有2Vt重点式子5上式展开为：2222uvtxyxy又考虑到矢量代数运算：VVV=V于是得到守恒型的涡度输运方程：2Vt展开如下：2222uvtxyxy重点式子6陶老师《数值传热学》第二版P302式84即为上式在稳态下的表示3：柱坐标下的涡量：1zrVVrz，rzVVzr，1rzVrVrr即有：11zrzrrzVVVVVrotVeerVerzzrrr参考文献1AndersonJDJr.Computationalfluiddynamics.Thebasicwithapplications.影印版.北京:清华大学出版社，2002.64-742FrankM.WhiteFluidMechanics(FifthEdition).影印版.北京:清华大学出版社，2004.237-247；832-8333陶文铨编著.数值传热学.第2版.西安:西安交通大学出版社，2001.301-303；315-3254谢树艺著.矢量分析与场论.第2版.北京：高等教育出版社1985.75-995王献孚熊鳌魁编著.高等流体力学.武汉：华中科技大学出版社2003.63-70；85-966景思睿张鸣远编著.流体力学.西安：西安交通大学出版社2001.78-83